2013　名古屋大学　前期MathJax

【１】　$3$人でジャンケンをする．各人はグー，チョキ，パーをそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}$の確率で出すものとする．負けた人は脱落し，残った人で次回のジャンケンを行ない（アイコのときは誰も脱落しない），勝ち残りが$1$人になるまでジャンケンを続ける．このとき各回の試行は独立とする．$3$人でジャンケンを始め，ジャンケンが$n$回目まで続いて$n$回目終了時に$2$人が残っている確率を$p_n\text{，}3$人が残っている確率を$q_n$とおく．

(1)　$p_1\text{，}{q}_1$を求めよ．

(2)　$p_n\text{，}{q}_n$がみたす漸化式を導き，$p_n\text{，}{q}_n$の一般項を求めよ．

(3)　ちょうど$n$回目で$1$人の勝ち残りが決まる確率を求めよ．

【２】　平面上に同じ点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C_1$と半径$2$の円$C_2$があり，$C_1$の周上に定点$\mathrm{A}$がある．点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$はそれぞれ$C_1\text{，}{C}_2$の周上を反時計回りに動き，ともに時間$t$の間に弧長$t$だけ進む．時刻$t=0$において，$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}$の位置にあって$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$はこの順に同一直線上に並んでいる．$0\leqq t\leqq 4\pi$のとき$▵\mathrm{APQ}$の面積の$2$乗の最大値を求めよ．

【３】　$k\text{，}m\text{，}n$は整数とし，$n\geqq 1$とする．${}_{m}C_k$を二項係数として，$S_k(n)\text{，}{T}_m(n)$を以下のように定める．

$S_k(n)=1^k+2^k+3^k+\cdots +n^k\text{，}{S}_k(1)=1\text{（}k\geqq 0\text{）}$

$T_m(n)={}_{m}C_1{S}_1(n)+{}_{m}C_2{S}_2(n)+{}_{m}C_3{S}_3(n)+\cdots +{}_{m}C_{m-1}{S}_{m-1}(n)$

$={\displaystyle \sum _{k=1}^{m-1}}{}_{m}C_k{S}_k(n)\text{（}m\geqq 2\text{）}$

(1)　$T_m(1)$と$T_m(2)$を求めよ．

(2)　一般の$n$に対して$T_m(n)$を求めよ．

(3)　$p$が$7$以上の素数のとき，$S_1(p-1)\text{，}{S}_2(p-1)\text{，}{S}_3(p-1)\text{，}{S}_4(p-1)$は$p$の倍数であることを示せ．

【２】　$x>0$とし，$f(x)=\log x^{100}$とおく．

(1)　次の不等式を証明せよ．

${\displaystyle \frac{100}{x+1}}<f(x+1)-f(x)<{\displaystyle \frac{100}{x}}$

(2)　実数$a$の整数部分（$k\leqq a<k+1$となる整数$k$）を$[a]$で表す．整数$[f(1)]\text{，}[f(2)]\text{，}[f(3)]\text{，}\cdots \text{，}[f(\mathrm{1000})]$のうちで異なるものの個数を求めよ．必要ならば$\log 10=2.3026$として計算せよ．

【３】　$k\text{，}m\text{，}n$は整数とし，$n\geqq 1$とする．${}_{m}C_k$を二項係数として，$S_k(n)\text{，}{T}_m(n)$を以下のように定める．

$S_k(n)=1^k+2^k+3^k+\cdots +n^k\text{，}{S}_k(1)=1\text{（}k\geqq 0\text{）}$

$T_m(n)={}_{m}C_1{S}_1(n)+{}_{m}C_2{S}_2(n)+{}_{m}C_3{S}_3(n)+\cdots +{}_{m}C_{m-1}{S}_{m-1}(n)$

$={\displaystyle \sum _{k=1}^{m-1}}{}_{m}C_k{S}_k(n)\text{（}m\geqq 2\text{）}$

(1)　$T_m(1)$と$T_m(2)$を求めよ．

(2)　一般の$n$に対して$T_m(n)$を求めよ．

(3)　$p$が$3$以上の素数のとき，$S_k(p-1)\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}p-2\text{）}$は$p$の倍数であることを示せ．

【４】　半径$1$の円盤$C_1$が半径$2$の円盤$C_2$に貼付けられており，$2$つの円盤の中心は一致する．$C_2$の周上にある定点を$\mathrm{A}$とする．図のように，時刻$t=0$において$C_1$は$\mathrm{O}(0,0)$で$x$軸に接し，$\mathrm{A}$は座標$(0,-1)$の位置にある．$2$つの円盤は一体となり，$C_1$は$x$軸上をすべることなく転がっていく．時刻$t$で$C_1$の中心が点$(t,1)$にあるように転がるとき，$0\leqq t\leqq 2\pi$において$\mathrm{A}$が描く曲線を$C$とする．

(1)　時刻$t$における$\mathrm{A}$の座標を$(x(t),y(t))$で表す．$(x(t),y(t))$を求めよ．

(2)　$x(t)$と$y(t)$の$t$に関する増減を調べ，$x(t)$あるいは$y(t)$が最大値または最小値をとるときの$\mathrm{A}$の座標を全て求めよ．

(3)　$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．