2013　名古屋工業大学　後期MathJax

【１】　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{4-x}{x^2-7x+16}}\text{，}g(x)={\displaystyle \frac{4-x^2}{x^4-7x^2+16}}$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の増減を調べて極値を求めよ．

(2)　$g(x)$の分母について

$x^4-7x^2+16={(x^2+a)}^2-b^2{x}^2$

が成り立つように定数$a$および正の定数$b$を定めよ．

(3)　(2)で求めた$a\text{，}b$に対して

$g(x)={\displaystyle \frac{Ax+B}{x^2+bx+a}}+{\displaystyle \frac{Cx+D}{x^2-bx+a}}$

が成り立つように定数$A\text{，}B\text{，}C\text{，}D$を定めよ．

(4)　曲線$y=g(x)$と$x$軸で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

【２】　座標平面上で，極方程式

$r=\sqrt{\cos 2\theta }$

が表す曲線の$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$に対応する部分を$C$とする．

(1)　曲線$C$上の点$\mathrm{P}$の直交座標$(x,y)$を$\theta$の式で表せ．

(2)　曲線$C$上の点$\mathrm{Q}$の極座標を$(r,\theta )$とする．点$\mathrm{Q}$における$C$の接線の傾きが$-1$であるとき$\theta$の値を求めよ．

(3)　曲線$C$と$x$軸によって囲まれる図形の$x\geqq {\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}$の部分の面積$S$を求めよ．

【３】　数列$\{x_n\}$を

$\{\begin{array}{ll}{x}_1=1& \\ x_{n+1}={\displaystyle \frac{3x_n+12}{2x_n+1}}& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

によって定める．

(1)　数学的帰納法によって，すべての自然数$n$に対して$x_n>0$であることを示せ．

(2)　数列$\{t_n\}$を$t_n={\displaystyle \frac{3-x_n}{x_n+2}}$によって定める．$t_{n+1}$を$t_n$の式で表せ．

(3)　(2)の数列$\{t_n\}$の一般項$t_n$を求めよ．

(4)　数列$\{x_n\}$の一般項$x_n$を求めよ．

(5)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$を求めよ．

【４】　座標空間内の点$\mathrm{A}(-2,2,1)\text{，}\mathrm{B}(\sqrt{6},1,0)\text{，}\mathrm{C}(2,2,1)$および$\mathrm{D}$は次の条件を満たす．

(ⅰ)　$\mathrm{AD}=\mathrm{CD}$

(ⅱ)　$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$は点$\mathrm{P}$を中心とする半径$r$の球面上にあり，点$\mathrm{P}$は三角形$\mathrm{ACD}$の内部にある．

(ⅲ)　$2$直線$\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{DP}$の交点を$\mathrm{M}$とすると$\mathrm{DM}=4$である．

このとき次の問いに答えよ．

(1)　球面の半径$r$を求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を求めよ．

(3)　(2)の外接円の中心$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(4)　点$\mathrm{D}$から平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．