2013　名古屋工業大学　機械工学科推薦MathJax

【１】　$a\text{，}b\text{，}c$を正の実数として，座標空間で，$4$点$\mathrm{A}(a,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,b,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,c)\text{，}\mathrm{O}(0,0,0)$を頂点とする四面体を考えるとき，次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$を通る直線上の点$\mathrm{P}$で，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$が垂直，となる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{CP}$の長さを求めよ．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

(4)　${(\text{三角形}\mathrm{ABC}\text{の面積})}^2$と，

${(\text{三角形}\mathrm{BCO}\text{の面積})}^2+{(\text{三角形}\mathrm{CAO}\text{の面積})}^2+{(\text{三角形}\mathrm{ABO}\text{の面積})}^2$

の大小を比較せよ．

【２】　$\omega$を実数とし実数変数$x$の関数を成分に持つ$2$次正方行列$\left(\begin{array}{cc}\cos \omega x& -\sin \omega x\\ \sin \omega x& \cos \omega x\end{array}\right)$に対し${\displaystyle \frac{d}{dx}}\left(\begin{array}{cc}\cos \omega x& -\sin \omega x\\ \sin \omega x& \cos \omega x\end{array}\right)$を

${\displaystyle \frac{d}{dx}}\left(\begin{array}{cc}\cos \omega x& -\sin \omega x\\ \sin \omega x& \cos \omega x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{d}{dx}}\cos \omega x& -{\displaystyle \frac{d}{dx}}\sin \omega x\\ {\displaystyle \frac{d}{dx}}\sin \omega x& {\displaystyle \frac{d}{dx}}\cos \omega x\end{array}\right)$

として定義する．このとき，次の問に答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{d}{dx}}\left(\begin{array}{cc}\cos \omega x& -\sin \omega x\\ \sin \omega x& \cos \omega x\end{array}\right)$を求めよ．

(2)　$\left(\begin{array}{cc}\cos \omega x& -\sin \omega x\\ \sin \omega x& \cos \omega x\end{array}\right)$の逆行列を求めよ．

(3)　${\displaystyle \frac{d}{dx}}\left(\begin{array}{cc}\cos \omega x& -\sin \omega x\\ \sin \omega x& \cos \omega x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}p(x)& q(x)\\ r(x)& s(x)\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\cos \omega x& -\sin \omega x\\ \sin \omega x& \cos \omega x\end{array}\right)$を満たす，$x$の関数を成分にもつ$2$次正方行列$\left(\begin{array}{cc}p(x)& q(x)\\ r(x)& s(x)\end{array}\right)$を求めよ．