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2013-10485-0101
2013 豊橋技術科学大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 行列 A =( 2⁢a -a2 1 0) ,P= ( a 1 1 0) に対して,以下の問いに答えよ.ただし, n は自然数とする.
(1) A⁢P を求めよ.
(2) B=P -1 ⁢A⁢P を求めよ.
(3) Bn を求めよ.
(4) An を求めよ.
2013-10485-0102
【2】 図に示したように第 1 象限内に原点を頂点の一つとして有する一辺の長さが a である正三角形 OAB がある.この図形に関する以下の問いに答えよ.ただし,線分 OA と x 軸とのなす角を 15⁢ ° とする.また,三角関数を使用する場合,三角関数は数値化すること.
(1) 三角形 OAB の面積を求めよ.
(2) 三角形の二つの頂点 A ,B の座標を求めよ.
(3) 直線 OA , OB および AB の方程式を求めよ.
(4) この三角形 OAB の内部にあり,三角形に内側で接する円の方程式を求めよ.また,この円の面積を求めよ.
2013-10485-0103
【3】 曲線 y =1 x ( x>0 ) を曲線 C とする.曲線 C と直線 y =m⁢x の交点を点 P , 曲線 C と直線 y =1 2⁢ x との交点を点 Q とする.ここで傾き m を m > 12 の実数とする.以下の問いに答えよ.
(1) 点 P と点 Q の座標をそれぞれ求めよ.
(2) 点 Q における曲線 C の接線 L の方程式を求めよ.
(3) 接線 L と直線 y =m⁢x の交点の座標を, m を用いて表せ.
(4) 原点 O と点 P , 原点 O と点 Q を結ぶ線分をそれぞれ OP , OQ とする.曲線 C と OP , OQ で囲まれた部分の面積 A を, m を用いて表せ.
(5) 点 P および点 Q から y 軸に垂直に引いたそれぞれの線分と, y 軸および曲線 C で囲まれた領域を y 軸のまわりに 1 回転してできる体積を, m を用いて表せ.
2013-10485-0104
【4】 3 個のサイコロを同時に投げるとき,以下の問いに答えよ.ただし,答えは既約分数で示せ.
(1) 3 個のサイコロの目の積が奇数となる確率を求めよ.
(2) 3 個のサイコロの目の積が偶数となる確率を求めよ.
(3) 3 個のサイコロの目の積が 3 の倍数となる確率を求めよ.
(4) 3 個のサイコロの目の積が 3 の倍数で,かつ奇数となる確率を求めよ.
(5) 3 個のサイコロの目の積または和が 3 の倍数となる確率を求めよ.