2013　愛知教育大学　前期MathJax

【１】　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

$y=\{2\cos 2x-(3+3\sqrt{3})\cos x+3\sqrt{3}+2\}\cos x$

の最大値・最小値と，そのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$を

$a_1=1\text{，}{n}^2{a}_n-{(n-1)}^2{a}_{n-1}=n\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．また，数列$\{b_n\}$を

$b_n=a_1{a}_2\cdots a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．以下の問いに答えよ．

問１　数列$\{a_n\}$の一般項と，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

問２　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k$とおくとき，$S_n$を求めよ．

【３】　$n$を正の整数とし，整式

$P(x)=x^{3x}+(3n-2)x^{2n}+(2n-3)x^n-n^2$

を考える．以下の問いに答えよ．

問１　$P(x)$を$x^2-1$で割った余りを求めよ．

問２　$P(x)$が$x^2-1$で割り切れるような$n$の値をすべて求めよ．

【４】　曲線$y=x^2$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{A}(\alpha ,{\alpha }^2)\text{（}\alpha <0\text{）}$における曲線$C$の接線を$l$とする．また，この接線$l$上の点$\mathrm{P}$から，曲線$C$に$l$とは異なる接線$m$をひく．ただし，点$\mathrm{P}$の$x$座標は$p$とし，$p>\alpha$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

問１　接線$m$の曲線$C$との接点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

問２　点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を通る直線が，直線$l$と垂直となるとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

問３　点$\mathrm{P}$を問２で求めたものとする．このとき，点$\mathrm{P}$を通り，$▵\mathrm{ABP}$の面積を$2$等分する直線の方程式を求めよ．

【５】　同一直線上にない$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$がある．線分$\mathrm{OB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$線分$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)\text{（}0<s<1\text{）}$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{OD}$と線分$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{E}$とする．以下の問いに答えよ．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$と$s$を用いて表せ．

問２　$▵\mathrm{OAE}$と$▵\mathrm{OCE}$の面積が等しくなるような$s$の値を求めよ．

【６】　座標平面上の円$C\text{：}{x}^2+y^2=1$と点$\mathrm{A}(-1,0)$に対し，点$\mathrm{A}$を通る傾き$m\text{（}m>0\text{）}$の直線と円$C$との交点で，点$\mathrm{A}$とは異なる点を$\mathrm{P}$とする．また，点$\mathrm{P}$から$x$軸に下した垂線を$\mathrm{PQ}$とする．以下の問いに答えよ．

問１　点$\mathrm{P}$の座標を$m$を用いて表せ．

問２　$▵\mathrm{APQ}$の面積を最大とする$m$の値を求めよ．

【７】　$2$つの実数$a\text{，}b$は$|2a|-2<b<2$をみたしている．このとき，$x$の$4$次方程式

$x^4+a{x}^3+b{x}^2+ax+1=0$(＊)

を考える．

問１　$x\ne 0$とする．$z=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$とおくとき，方程式(＊)を$z$で表せ．

問２　問１で求めた$z$の方程式の解は，すべて絶対値が$2$以下の実数であることを示せ．

問３　複素数$\alpha =p+qi$（$p\text{，}q$は実数）に対し，$\sqrt{p^2+q^2}$を複素数$\alpha$の「大きさ」ということにする．ただし$i$は虚数単位を表す．このとき，$4$次方程式(＊)の解はすべて虚数で，それらの大きさはすべて$1$であることを示せ．

【８】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上を動く点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標$\mathrm{P}(x(t),y(t))$が

$\{\begin{array}{l}x(t)=e^t\cos t\\ y(t)=e^t\sin t\end{array}$

で与えられている．

問１　時刻$t$における点$\mathrm{P}$の速度ベクトル$\overrightarrow{v_1(t)}=(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t))$は，ある$2\times 2$行列$A$によって

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }(t)\\ y^{\prime }(t)\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\end{array}\right)$

と表すことができる．この行列$A$を求めよ．

問２　$\mathrm{P}$の各座標の時刻$t$による$n$次導関数を成分とするベクトルを$\overrightarrow{v_n(t)}=(x^{(n)}(t),y^{(n)}(t))$とおく．このとき，$n\geqq 1$に対し，

$\left(\begin{array}{c}{x}^{(n)}(t)\\ y^{(n)}(t)\end{array}\right)=A^n\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\end{array}\right)$

となることを，数学的帰納法を用いて示せ．

問３　$\overrightarrow{v_{2013}(\pi )}$を求めよ．

【９】　次の極限値を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{n+k}}(\log (n+k)-\log n)$

志望別問題選択一覧

数学選修・数学専攻・情報選修・情報専攻　【５】，【６】，【７】，【８】，【９】必答

教育科学専攻（中等），理科選修，理科専攻，自然科学コース　【３】，【４】，【５】必答

技術専攻・情報科学コース　【３】，【４】必答，【５】，【６】から１題選択．

教育科学選修（初等）・音楽選修・音楽専攻・美術選修・美術専攻・保健体育選修・保健体育専攻・家庭選修・家庭専攻・特別支援学校教員養成課程　【１】，【２】必答