2013　愛知教育大学　後期MathJax

2013-10490-0201

2013　愛知教育大学　後期

教育（初等数学，中等情報，中等数学専攻）学部

易□　並□　難□

【１】　原点 $O$ の座標平面上の $2$ 点を $A (\sqrt{3}, 0) ， B (0, 1)$ とする． $θ (0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2})$ に対して点 $C$ を $OC = 2$ で $∠ COA = θ$ となるように定める．

問１　 ${AC}^{2} + {BC}^{2}$ を $θ$ で表せ．ただし三角関数は，三角関数の合成を用いて， $r \sin (α + β)$ の形に変形しておくこと．

問２　 ${AC}^{2} + {BC}^{2}$ を最小にする $θ$ を求めよ．

問３　 ${AC}^{2} + {BC}^{2}$ を最大にする $θ$ を求めよ．

2013-10490-0202

数学入試問題さんの解答（PDF）へ

2013　愛知教育大学　後期

教育（初等数学，中等情報，中等数学専攻）学部

易□　並□　難□

【２】　 $▵ ABC$ に対して， $AB$ の中点を $M ， AC$ を $5 : 2$ に外分する点を $N$ とする．このとき，次の問いに答えよ．

問１　線分 $MN$ と $BC$ の交点を $Q$ とするとき， $\vec{AQ}$ を $\vec{AM}$ と $\vec{AN}$ を用いて表せ．

問２　実数 $t （ 0 ≦ t ≦ 1 ）$ に対して

$(7 t - 4) \vec{PA} + 3 t \vec{PB} + (10 - 10 t) \vec{PC} = \vec{0}$

をみたす点 $P$ を考える． $t$ が $0 ≦ t ≦ 1$ の範囲を動くときの点 $P$ の軌跡を求めよ．

2013-10490-0203

2013　愛知教育大学　後期

教育（初等数学，中等情報，中等数学専攻）学部

易□　並□　難□

【３】　原点 $O$ の座標平面上に点 $A (1, 0)$ をとる． $x$ 軸上の点 $O$ と点 $A$ の間の点 $S (s, 0) （ 0 < s < 1 ）$ に対して， $y$ 軸上の点 $T$ を $y$ 座標が正で $ST = 1$ となるように定め，線分 $TS$ と線分 $SA$ を点 $S$ でつないでできる折れ線 $TSA$ を考える． $p （ 0 < p < 1 ）$ を定数とする．折れ線 $TSA$ 上の点で， $x$ 座標が $p$ である点を $R$ とする．

問１　点 $R$ の $y$ 座標を求めよ．

問２　点 $S$ を $x$ 軸上で $O$ から $A$ まで動かす．このとき，問１で求めた点 $R$ の $y$ 座標の最大値を $p$ を用いて表せ．

2013-10490-0204

2013　愛知教育大学　後期

教育（初等数学，中等情報，中等数学専攻）学部

易□　並□　難□

【４】　座標空間内の $x y$ 平面上で楕円 $C ： x^{2} + 4 y^{2} = 1$ を考え， $x$ 座標が $t （ - 1 ≦ t ≦ 1 ）$ である $C$ 上の $2$ 点を $P ， P^{'}$ とする．点 $P$ を通り $z$ 軸に平行な直線上に， $z$ 座標が $1$ である点 $Q$ をとる．また，点 $P^{'}$ を通り $z$ 軸に平行な直線上に， $z$ 座標が $1$ である点 $Q^{'}$ をとり，長方形 ${PP}^{'} Q^{'} Q$ を $S_{t}$ とする． $t = 1 ， t = - 1$ のときは， $x$ 座標が $t$ である $C$ 上の点を $P$ とする．点 $Q$ を上で説明した通りにとり，線分 $PQ$ をそれぞれ $S_{1} ， S_{- 1}$ とする． $t$ を $- 1$ から $1$ まで動かしたときに $S_{t}$ が通過してできる立体を $A$ とする（右図参照）．また，原点 $O$ を中心とする半径 $1$ の球の $z ≧ 0$ の部分を $B$ とし， $A$ と $B$ の共通部分を $D$ とする．

問１　立体 $D$ を平面 $x = t$ で切ったときにできる断面の図形の面積を求めよ．

問２　 $D$ の体積を求めよ．

2013-10490-0205

2013　愛知教育大学　後期

教育（初等数学，中等情報，中等数学専攻）学部

易□　並□　難□

【５】　座標平面上の原点 $O$ を中心とした半径 $1$ の円に正五角形 $P_{1} P_{2} P_{3} P_{4} P_{5}$ が内接している．ただし， $P_{1} ， P_{2} ， P_{3} ， P_{4} ， P_{5}$ はこの順番に反時計回りに並んでいる． $\vec{a_{i}} = \vec{{OP}_{i}} （ i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ）$ とおく．

問１　 $O$ を中心に反時計回りに $\frac{2 π}{5}$ だけ回転する $1$ 次変換を表す行列を $R$ とする．このとき

$R (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$

ならば $x = y = 0$ であることを示せ．

問２　 $5$ 本のベクトル $\vec{a_{i}} （ i = 1 ， 2. ， 3 ， 4 ， 5 ）$ の和 $\vec{a_{1}} + \vec{a_{2}} + \vec{a_{3}} + \vec{a_{4}} + \vec{a_{5}}$ を求めよ．

問３　次の相異なる $2$ つのベクトルの内積 $\vec{a_{i}} \cdot \vec{a_{j}}$ の和

$\vec{a_{1}} \cdot \vec{a_{2}} + \vec{a_{1}} \cdot \vec{a_{3}} + \vec{a_{1}} \cdot \vec{a_{4}} + \vec{a_{1}} \cdot \vec{a_{5}}$

$+ \vec{a_{2}} \cdot \vec{a_{3}} + \vec{a_{2}} \cdot \vec{a_{4}} + \vec{a_{2}} \cdot \vec{a_{5}} + \vec{a_{3}} \cdot \vec{a_{4}} + \vec{a_{3}} \cdot \vec{a_{5}} + \vec{a_{4}} \cdot \vec{a_{5}}$

の値を求めよ．

2013 愛知教育大学 後期MathJax

2013　愛知教育大学　後期MathJax