2013　三重大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b$を実数とし，$i$を虚数単位とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の解の$1$つが$1-\sqrt{2}i$であるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b$の$$値を求めよ．

(2)　$2$次関数$y=x^2+ax+b$のグラフの軸と頂点を求め，そのグラフをかけ．

(3)　曲線$y=x^2+ax+b$と直線$y=3$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　$\theta$を$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$となる実数とし，平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}\mathrm{Q}(\cos 3\theta ,-\sin 3\theta )$をとる．さらに線分$\mathrm{PQ}$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　加法定理を用いて$\cos 3\theta$を$\cos \theta$だけで表す式を導け．同様に$\sin 3\theta$を$\sin \theta$だけで表す式を書け．

(2)　$\mathrm{PR}:\mathrm{RQ}=5:11$のとき，$\sin \theta \text{，}\cos \theta$の値を求めよ．

(3)　(2)の条件下で$▵\mathrm{POR}$の面積を求めよ．

【３】　正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．点$\mathrm{P}$は，時刻$0$では頂点$\mathrm{A}$にあり，$1$秒ごとに，今いる頂点から他の$3$頂点のいずれかに動くとする．$n$を正の整数として，$\mathrm{A}$から出発して$n$秒後に$\mathrm{A}$に戻る経路の数を${\alpha }_n\text{，}\mathrm{A}$から出発して$n$秒後に$\mathrm{B}$に到達する経路の数を${\beta }_n$とする．このとき，$\mathrm{A}$から出発して$n$秒後に$\mathrm{C}$に到達する経路の数も，$\mathrm{D}$に到達する経路の数も${\beta }_n$となる．このことに注意して，以下の問いに答えよ．ただし${\alpha }_0=1\text{，}{\beta }_0=0$とする．

(1)　${\alpha }_2\text{，}{\beta }_2\text{，}{\alpha }_2+3{\beta }_2\text{，}{\alpha }_3\text{，}{\beta }_3\text{，}{\alpha }_3+3{\beta }_3$を求めよ．

(2)　$n\geqq 1$に対し${\alpha }_n\text{，}{\beta }_n$を${\alpha }_{n-1}\text{，}{\beta }_{n-1}$で表せ．

(3)　$c_n={\alpha }_n-{\beta }_n$とおいて$c_n$の一般項を求めよ．

(4)　${\alpha }_n$の一般項を求めよ．

【４】　平面上のベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$が$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|=2\text{，}$$|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=2$を満たすように動く．ベクトル$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\text{，}2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$を，それぞれ$\overrightarrow{x}\text{，}\overrightarrow{y}$とし，$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{y}$がなす角を$\theta$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{x}\text{，}\overrightarrow{y}$で表せ．

(2)　$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{x}\text{，}\overrightarrow{y}$を用いて表し，${|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}^2$を$\theta$で表せ．

(3)　$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$を，それぞれ求めよ．

【４‐１】　関数$y=x{e}^{-2x}$を考える．

(1)　$y^{\prime }\text{，}{y}^{″}$を求めよ．

(2)　この関数の$0\leqq x\leqq 2$における増減，凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．

【３】　正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．点$\mathrm{P}$は，時刻$0$では頂点$\mathrm{A}$にあり，$1$秒ごとに，今いる頂点から他の$3$頂点のいずれかに，等しい確率で動くとする．$n$を$0$以上の整数とし，点$\mathrm{P}$が$n$秒後に$\mathrm{A}$にある確率を$p_n\text{，}\mathrm{B}$にある確率を$q_n$とする．このとき，$n$秒後に$\mathrm{C}$にある確率も，$\mathrm{D}$にある確率も$q_n$となる．このことに注意して，以下の問いに答えよ．ただし$a_0=1\text{，}{q}_0=0$とする．

(1)　$n\geqq 1$に対し$p_n\text{，}{q}_n$を$p_{n-1}\text{，}{q}_{n-1}$で表せ．

(2)　$c_n=p_n-q_n$とおいて$c_n$の一般項を求めよ．

(3)　$p_n$の一般項を求めよ．

【４】　$y^2={(x-2)}^2(x+1)$で決まる曲線を$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　関数$y=(x-2)\sqrt{x+1}$の増減を調べ，関数のグラフの概形をかけ．

(2)　曲線$C$の概形をかけ．

(3)　曲線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【３】　正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．点$\mathrm{P}$は，時刻$0$では頂点$\mathrm{A}$にあり，$1$秒ごとに，今いる頂点から他の$3$頂点のいずれかに，等しい確率で動くとする．$n$を$0$以上の整数とし，点$\mathrm{P}$が$n$秒後に$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$にある確率を，それぞれ$p_n\text{，}{q}_n\text{，}{r}_n\text{，}{s}_n$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$n\geqq 1$に対し$q_n=r_n=s_n$となることを数学的帰納法で証明せよ．

(2)　$n\geqq 1$に対し$p_n\text{，}{q}_n$を$p_{n-1}\text{，}{q}_{n-1}$で表せ．ただし，$p_0=1\text{，}{q}_0=0$とする．

(3)　$c_n=p_n-q_n$とおいて$c_n$の一般項を求めよ．

(4)　$p_n$の一般項を求めよ．

【４】　$e$で自然対数の底を表す．関数$f(x)$を

$f(x)=\log (x+\sqrt{x^2+e})$

で定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$を微分せよ．また$f^{\prime }(x)$が偶関数であることを示せ．

(2)　定積分

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(x)\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}x)dx$

を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$を

$a_n={\displaystyle {\int }_{-1}^1}{x}^{2n}f(x)\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}x)dx\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．$n$を$2$以上とするとき，$a_n$と$a_{n-1}$の間に立つ関係式を求めよ．