2013　三重大学　後期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$\cos \alpha =\cos \beta$であるとき，$\alpha$と$\beta$が満たす関係式を求めよ．

(2)　連立方程式

$\{\begin{array}{l}\cos x=\cos y\\ \cos (x+y)-\sin x=0\end{array}$

を解け．ただし，$0\leqq x<2\pi \text{，}0\leqq y<2\pi$であるとする．

【２】　行列$X$を$X=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ x& 0& 0\\ 1& y& -1\end{array}\right)$とし，$A=X+2E$とおく．ただし，$E$は$3$次の単位行列である．以下の問いに答えよ．

(1)　$X^2=E$となるように$x\text{，}y$を定めよ．またこのとき，$A^2\text{，}{A}^3$を$X\text{，}E$を用いて表せ．

(2)　$x\text{，}y$を(1)で定めたものとし，$a_n\text{，}{b}_n$（$n$は自然数）を$A^n=a_{n}X+b_{n}E$となるものとする．このとき，$a_{n+1}\text{，}{b}_{n+1}$を$a_n\text{，}{b}_n$で表せ．

(3)　${\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$を計算せよ．また$x\text{，}y$を(1)で定めたものとしたとき，$A^{n+1}$を求めよ．

【３】　さいころを$3$回投げて出た目が順に$a\text{，}b\text{，}c$であったとする．このとき$a\text{，}b\text{，}c$を係数とする$2$次方程式$a{x}^2+bx+c=0$を考える．

(1)　この$2$次方程式が重解をもつとき，$b$は偶数であることを示せ．

(2)　この$2$次方程式が重解をもつようなすべての組$(a,b,c)$を求め，重解をもつ確率を求めよ．

【４】　以下の問いに答えよ．

(1)　曲線$y=\sqrt{x^2-1}$上の点$(a,\sqrt{a^2-1})$における接線の方程式を求めよ．ただし，$a>1$とする．

(2)　(1)で求めた接線と$x$軸との交点の座標を求めよ．

(3)　(1)で求めた接線と曲線$y=\sqrt{x^2-1}\text{，}$および$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積が${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$となるときの$a$を求めよ．

【１】　次の各設問に答えよ．

(1)　$-90\mathrm{°}<x<90\mathrm{°}$とする．$4\sin x+6\cos x=\sqrt{2}$のとき$\tan x$を求めよ．

【１】　次の各設問に答えよ．

(2)　方程式${\log }_3(x^2+4x-12)={\log }_3(5x-6)$を満たす$x$を求めよ．

【１】　次の各設問に答えよ．

(3)　$0\leqq x\leqq 2$において，$x^2-4ax+5a>0$を満たす定数$a$の範囲を求めよ．

【２】　直線$y=x$と直線$y=-2x$に囲まれた$y$が正の領域において，図のように底辺が$x$軸に平行で，底辺の$2$頂点が$2$直線に接する正方形が重なっている．$1$段目の正方形の一辺の長さが$1$のとき，次の各設問に答えよ．

(1)　$1$段目の正方形が直線$y=x$と接する点$\mathrm{A}\text{，}$直線$y=-2x$と接する点$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ求めよ．

(2)　$3$段目の$1$辺の長さを求めよ．

(3)　$n$段目の$1$辺の長さを$L_n$としたとき，$n+1$段目の$1$辺の長さ$L_{n+1}$を表す漸化式を求めよ．

【３】　毎年の初めに$q$円ずつ積み立てたとき，複利法で年利率$x\mathrm{\%}\text{（}x>0\text{）}$の利息がつくとする．$p=1+{\displaystyle \frac{x}{100}}$とすると，$n$年目のはじめの貯金高$a_n$円は，次の漸化式で表現できる．

$a_1=q$

$a_n=p{a}_{n-1}+q\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$a_1\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4$を$p\text{，}q$を用いて求めよ．

(2)　$a_n$の一般項を$p\text{，}q\text{，}n$の式で表せ．

(3)　年利率$1\mathrm{\%}\text{（}p=1.01\text{）}$で，$20$年目のはじめの貯金高が$20$万円に達する（$a_{20}\geqq 200000$）のに必要な，毎年の積立金の最低額を求めよ．ただし，${1.01}^{20}=1.22$とする．