2013　滋賀大学　後期MathJax

【１】　$2$次方程式$x^2-ax+b=0$の解を$\alpha \text{，}\beta$とする．実数$a\text{，}b$が$a\geqq 0\text{，}b\ne 0$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　 $|{\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}+{\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}|<2$ならば，$\alpha$と$\beta$は実数でないことを示せ．

(2)　${\alpha }^3+{\beta }^3<0$ならば，$\alpha$と$\beta$は実数でないことを示せ．

(3)　${\alpha }^4+{\beta }^4$を$a$と$b$を用いて表せ．

(4)　(3)の答えを，$b$を定数とする$a$の関数とみなし，それを$f(a)$とする．このとき，$f(a)$の最小値と最小値を与える$a$の値を，それぞれ$b$を用いて表せ．

【２】　数列$\{a_n\}$を${}_{1}C_1\text{，}{}_{2}C_1\text{，}2{}_{2}C_2\text{，}{}_{3}C_1\text{，}2{}_{2}C_3\text{，}3{}_{3}C_3\text{，}\cdots$と定め，次のような群に分ける．

$\begin{array}{cccccc}\underbrace{{}_{1}C_1},& \underbrace{{}_{2}C_1,2{}_{2}C_2},& \underbrace{{}_{3}C_1,2{}_{3}C_2,3{}_{3}C_3},& \cdots ,& \underbrace{{}_{m}C_1,2{}_{m}C_2,\cdots ,m{}_{m}C_m},& \cdots \\ \text{第}1\text{群}& \text{第}2\text{群}& \text{第}3\text{群}& & \text{第}m\text{群}\end{array}$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$n$以下の自然数$r$に対して，$r{}_{n}C_r=n{}_{n-1}C_{r-1}$が成り立つことを示せ．

(2)　二項定理を用いて，第$m$群に含まれる数の総和を求めよ．

(3)　第$1$群から第$m$群までに含まれる数の総和を求めよ．

【３】　$0$から$n$までの数字が$1$つずつ書かれている$n+1$個の箱がある．そのなかの$1$つに当たりが入っていて，$k$という数字が書かれている箱に当たりが入っている確率$p_k$は

$p_k=\{\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2n}}}\{(b-a)x+a\}dx& \cdots \text{①}& \text{（}k=0\text{）}\\ {\displaystyle {\int }_{\frac{2k-1}{2n}}^{\frac{2k+1}{2n}}}\{(b-a)x+a)dx& \cdots \text{②}& \text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n-1\text{）}\\ {\displaystyle {\int }_{\frac{2n-1}{2n}}^1}\{(b-a)x+a\}dx& \cdots \text{③}& \text{（}k=n\text{）}\end{array}$

である．ただし，$a\text{，}b$は正の定数である．当たりが入っている箱に書かれている数を$n$で割ったものを$X$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\text{①}\text{，}\text{②}\text{．}\text{③}$の積分をそれぞれ計算せよ．

(2)　$X$の期待値を$E$とする．$E$を$a\text{，}b\text{，}n$を用いて表せ．

(3)　$E$の$n$に依存しない項を$C$とする．$C={\displaystyle \frac{7}{12}}$のとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．

【４】　実数$a\text{，}b$に対して，$f(x)=x^3-3a^{2}x+2-b$とする．ただし，$a\geqq 0$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(1)-f(a)$を因数分解せよ．

(2)　区間$0\leqq x\leqq 1$における関数$f(x)$の増減を調べよ．

(3)　方程式$f(x)=0$が$0\leqq x\leqq 1$の範囲に実数解を持つための$a\text{，}b$についての条件を求め，その条件を満たす点$(a,b)$の範囲を$ab$平面上に図示せよ．