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2013-10535-0101
2013 滋賀医科大学 前期
医(医学科)学部
配点50点
易□ 並□ 難□
【1】 正の整数 n , p ,q について,等式
( p+ q) 2⁢n -1= an⁢ p+ bn⁢ q
を考える.
(1) ある正の整数 an ,bn が上の等式を満たすことを示せ.
(2) p⁢q が整数でないとき,(1)の an ,b n はただ一通りに定まることを示せ.
(3) p⁢q が整数でないとき,(1)の an ,b n に対して limn→ ∞= a nbn を求めよ.
2013-10535-0102
【2】 平面上で 2 つの円 S , S′ が点 P で内接している.ただし S ′ が S より小さいとする.円 S , S′ の中心をそれぞれ O ,O ′ とおく.円 S ′ 上にあって直線 PO ′ 上にはない点 Q をとる.直線 PQ と円 S との P とは異なる交点を A , 直線 AO と円 S との A とは異なる交点を B , 直線 BO ′ と円 S との B とは異なる交点を C , 直線 CQ と円 S との C とは異なる交点を D とする.
(1) AO⫽QO ′ を示せ.
(2) DB=BP を示せ.
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【3】 実数 a に対し,行列 X ⁡( a) を
X⁡( a)= 1 a2+ 1⁢ ( 2⁢a 2+1 -a -a a2+ 2)
と定める.
(1) ベクトル ( x0 y0 ) を考える.ベクトル ( x0 y0 ) ,X⁡ (a) ⁢( x0 y0 ) の大きさをそれぞれ l0 ,l1 とおく.このとき
l0 ≦l1
を示せ.ただしベクトル ( x y ) の大きさとは x2+ y2 のことである.
(2) (1)で l0= l1 となるとき, X⁡( a)⁢ ( x0 y0 )=( x0 y0 ) を示せ.
(3) a ,b が異なる実数のとき, X⁡ (a )m =X ⁡(b )n となるような正の整数 m , n は存在しないことを示せ.
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【4】 xy 平面において,連立不等式
x2+ y2≦ 1 ,x ≧0 ,y ≧0
で定まる図形を S とする. t を 0 <t<1 となる定数とし, S を直線 y =t で 2 つの部分に切断する. S1 を S と領域 y ≧t の共通部分, S2 を S と領域 y ≦t の共通部分とする.
(1) 図形 S1 ,S 2 を描け.
(2) S1 , S2 を y 軸の周りに 1 回転させてできる立体をそれぞれ V1 ,V2 とする.不等式
(S 1 の面積) (S 2 の面積) ≧ (V 1 の体積) V2 の体積 )
を示せ.