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2013-10550-0101
2013 京都工芸繊維大学 前期
配点25%
易□ 並□ 難□
【1】 一辺の長さが 1 の正十角形 D が平面上にある. D の外接円を C とおき, C の中心を O , C の半径を R とおく. D の頂点 P1 ,P 2 ,⋯ ,P 10 は C 上でこの順に反時計回りに並んでいるとする.点 P2 , P 3 から直線 O P1 へ下ろした垂線をそれぞれ P2 H2 , P 3H 3 とする.
(1) R= 12⁢sin ⁡θ1 を満たす θ 1 ( 0⁢° <θ1 <90⁢ ° ) を求めよ.
(2) P1 H2 =sin⁡ θ2 , H 2H 3=cos⁡ θ3 を満たす θ2 ,θ 3 ( 0⁢° <θ2 <90⁢ ° , 0⁢ ° <θ3 <90⁢ ° ) を求めよ.
(3) 等式 P1 H2 +H 2H 3+H 3O =R を用いて, sin⁡18 ⁢° の値を求めよ.
(4) D の面積を S とするとき, S2 の値を求めよ.
2013-10550-0102
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【2】 関数 f ⁡(x )=- 52 ⁢ x⁢( x-1 ) を考える. a を実数とし,実数 b , c を b =f⁡( a) ,c= f⁡( b) により定める.
(1) 不等式 a <b を満たすような a の値の範囲を求めよ.
(2) 連立不等式
(*) { a<b b>c
を満たすような a の値の範囲を求めよ.
(3) (2)の連立不等式(*)が成り立つとき, c と f ⁡(c ) の大小を判定せよ.
2013-10550-0103
【3】 a を正の定数とし, m を自然数とする. xy 平面上の 2 曲線 C1: y=a⁢ x2 ( x≧ 0 ),C 2:y= (log ⁡x) m ( x≧ 1 ) および点 P は次の条件を満たしている.
C1 と C 2 は P を通り, P における C 1 の接線と P における C 2 の接線は一致する.
(1) a の値および P の x 座標を m を用いて表せ.
(2) 関数 f ⁡(x )= (log ⁡x) mx2 ( x≧1 ) の最大値を求め, x≧1 において不等式 a ⁢x2 ≧( log⁡x) m が成り立つことを示せ.
(3) 自然数 n に対して,不定積分 ∫( log⁡x) n⁢dx を I n とおく. n≧2 のとき,部分積分法により, In を I n-1 を用いて表せ.
(4) m=2 のとき, C1 , C2 および x 軸で囲まれた部分の面積を求めよ.
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【4】 xy 平面上の曲線 C :y= 1x ( x> 0 ) を考える. 0<p< q のとき, C 上の 2 点 P ( p, 1p) ,Q (q ,1 q) を通る直線と C で囲まれる図形の面積を S とし,その図形を x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を V とする.
(1) r= pq とおくとき, S および V の値を p , r を用いて表せ.
(2) 自然数 n に対して, p=3 n-1 , q= 3n のときの V の値を V n とおく.無限級数 ∑n= 1∞ Vn の和を求めよ.