2013　京都工芸繊維大学　後期MathJax

【１】　関数$f(x)=x-{\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}$を考える．

(1)　関数$f(x)$の増減と，曲線$y=f(x)$の凹凸を調べよ．また，極限$\underset{x\to +\infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)\text{，}\underset{x\to -\infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　実数$a\text{，}b$に対して，定積分${\displaystyle {\int }_a^b}f(x)dx$の値を求めよ．

(3)　$0\leqq a\leqq b$のとき，不等式

${\displaystyle \frac{e^b+e^{-b}}{e^a+e^{-a}}}\leqq e^{\frac{1}{2}(b^2-a^2)}$

が成り立つことを証明せよ．ただし，等号成立条件は調べなくてよい．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$n$を自然数とする．

(ⅰ)　$4^n$を$3$で割った余りは$1$であることを示せ．

(ⅱ)　$2^n$を$3$で割った余りを求めよ．

(2)　$m$を自然数とし，$N$を$m$以上の自然数とする．

(ⅰ)　$m$の倍数のうち$N$以下の最大のものを$km$（$k$は自然数）と表すとき，不等式

${\displaystyle \frac{N}{m}}-1<k\leqq {\displaystyle \frac{N}{m}}$

が成り立つことを示せ．

(ⅱ)　$m$の倍数のうち$1$以上$N$以下のものすべての和を$S(N)$で表す．極限$\underset{N\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S(N)}{N^2}}$を求めよ．

【３】　$N$を$3$以上の自然数とする．$X_0=2$とおき，$N$個の数$X_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}N\text{）}$を次の規則で順に定める．

$X_0\text{，}{X}_1\text{，}\cdots \text{，}{X}_{n-1}$が定まったとき，コインを$1$回投げて，

(ⅰ)　表が出た場合，

$X_n=\{\begin{array}{ll}{X}_{n-1}+2& \text{（}{X}_0\text{，}{X}_1\text{，}\cdots \text{，}{X}_{n-1}\text{がすべて正のとき）}\\ X_{n-1}+1& \text{（}{X}_0\text{，}{X}_1\text{，}\cdots \text{，}{X}_{n-1}\text{のうちの少なくとも}1\text{つが}0\text{以下のとき）}\end{array}$

とおく．

(ⅱ)　裏が出た場合，

$X_n=X_{n-1}-1$

とおく．

(1)　$X_3=1$となる確率を求めよ．

(2)　$X_N=2N+2$となる確率を求めよ．

(3)　上で行なった$N$回のコイン投げで裏が$2$回以上出た場合は，$X_N\leqq 2N-4$となることを示せ．

(4)　$X_N=2N-1$となる確率を求めよ．

(5)　$X_N=2N-4$となる確率を求めよ．

【４】　$a$を正の実数とする．$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面内に，$3$次関数$y=a{x}^3-1$のグラフ$C_1$と，$\mathrm{O}$を中心とし点$\mathrm{P}(0,-1)$を通る円$C_2$がある．$C_1$と$C_2$は$\mathrm{P}$以外の共有点をただ$1$つもつとし，その点を$\mathrm{Q}$で表す．$a$の値および$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．