2013　大阪大学　前期MathJax

【１】　$xy$平面において，点$(x_0,y_0)$と直線$ax+by+c=0$の距離は

${\displaystyle \frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}$

である．これを証明せよ．

【２】　$1$個のさいころを$3$回投げる試行において，$1$回目に出る目を$a\text{，}2$回目に出る目を$b\text{，}3$回目に出る目を$c$とする．

(1)　${\log }_{\frac{1}{4}}(a+b)>{\log }_{\frac{1}{2}}c$となる確率を求めよ．

(2)　$2^a+2^b+2^c$が$3$の倍数となる確率を求めよ．

【３】　曲線$y=x^2+x+4-|3x|$と直線$y=mx+4$で囲まれる部分の面積が最小となるように定数$m$の値を定めよ．

【１】　三角関数の極限に関する公式

$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}=1$

を示すことにより，$\sin x$の導関数が$\cos x$であることを証明せよ．

【２】　不等式

$1\leqq ||x|-2|+||y|-2|\leqq 3$

の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．

【３】　$4$個の整数

$n+1\text{，}{n}^3+3\text{，}{n}^5+5\text{，}{n}^7+7$

がすべて素数となるような正の整数$n$は存在しない．これを証明せよ．

【４】　$xyz$空間内の$3$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0,1)\text{，}\mathrm{B}(1,1,0)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる円すいを$V$とする．円すい$V$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【５】　$n$を$3$以上の整数とする．$n$個の球${\mathrm{K}}_1\text{，}{\mathrm{K}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{K}}_n$と$n$個の空からの箱${\mathrm{H}}_1\text{，}{\mathrm{H}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{H}}_n$がある．以下のように，${\mathrm{K}}_1\text{，}{\mathrm{K}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{K}}_n$の順番に，球を箱に$1$つずつ入れていく．

　まず，球${\mathrm{K}}_1$を箱${\mathrm{H}}_1\text{，}{\mathrm{H}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{H}}_n$のどれか$1$つに無作為に入れる．次に，球${\mathrm{K}}_2$を，箱${\mathrm{H}}_2$が空ならば箱${\mathrm{H}}_2$に入れ，箱${\mathrm{H}}_2$が空でなければ残りの$n-1$個の空の箱のどれか$1$つに無作為に入れる．

　一般に，$i=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}n$について，球${\mathrm{K}}_i$を，箱${\mathrm{H}}_i$が空ならば箱${\mathrm{H}}_i$に入れ，箱${\mathrm{H}}_i$が空でなければ残りの$n-i+1$個の空の箱のどれか$1$つに無作為に入れる．

(1)　${\mathrm{K}}_n$が入はいる箱は${\mathrm{H}}_1$または${\mathrm{H}}_n$である．これを証明せよ．

(2)　${\mathrm{K}}_{n-1}$が${\mathrm{H}}_{n-1}$に入る確率を求めよ．