2013　大阪教育大学　前期MathJax

【１】(1)　$t=\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}$とおくとき，次の等式が成り立つことを示せ．

• (ⅰ)　$\sin x={\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}}$
• (ⅱ)　$\cos x={\displaystyle \frac{1-t^2}{1+t^2}}$
• (ⅲ)　$\tan x={\displaystyle \frac{2t}{1-t^2}}$

(2)　$a\text{，}b$を実数とする．$x$を未知数とする方程式$a\sin x+b\cos x+1=0$が，$-\pi <x<\pi$の範囲に相異なる二つの解をもつとする．

(ⅰ)　$a\text{，}b$の満たすべき条件を求めよ．

(ⅱ)　二つの解を$\alpha \text{，}\beta$とするとき，$\tan {\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(3)　次の定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{1}{\sin x+\cos x+1}}dx$

【２】　直線$y=mx\text{（}m\ne 0\text{）}$を$l$とし，行列$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$で表される平面上の$1$次変換$f$は次の二つの条件を満たすとする．

$l$の各点は$f$で動かない．

$f$は点$\mathrm{A}(1,0)$を，$\mathrm{A}$を通り$l$に平行な直線上の点に移す．

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}c\text{，}d$を$b\text{，}m$を用いて表せ．

(2)　$ad-bc$の値を求めよ．

(3)　$f$により平面上の任意の点$\mathrm{P}$は，$\mathrm{P}$を通り$l$に平行な直線上の点に移ることを示せ．

【３】　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$を底面とする四角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}\mathrm{OABCD}$を考える．線分$\mathrm{OB}$の中点を${\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}$線分$\mathrm{OC}$を$1:2$に内分する点を${\mathrm{C}}^{\prime }$とし，$\mathrm{A}\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }$を通る平面と直線$\mathrm{OD}$の交点を${\mathrm{D}}^{\prime }$とする．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$で表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{D}}^{\prime }}$は$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$の何倍か．

(3)　三角錐$\mathrm{AO}{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{D}}^{\prime }$の体積は，三角錐$\mathrm{AOBD}$の体積の何倍か．

(4)　四角錐$\mathrm{OA}{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }{\mathrm{D}}^{\prime }$の体積は，四角錐$\mathrm{OABCD}$の体積の何倍か．

【４】　ある種の粒子は出現して$1$時間後に次のように変化する．

確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$で$2$個の新しい粒子になる．

確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で$1$個の新しい粒子になる．

確率${\displaystyle \frac{1}{6}}$で消滅する．

　$1$個の粒子から始まるものとして，次の問いに答えよ．

(1)　$2$時間後に粒子が$2$個になっている確率を求めよ．

(2)　$3$時間後に粒子が$5$個になっている確率を求めよ．

(3)　$n$を自然数とする．$n$時間後に最大でいくつの粒子があるか．その個数と，そうなる確率を$n$を用いて表せ．