2013　大阪教育大学　後期MathJax

【１】　$a$を正の実数とする．点$\mathrm{P}$が放物線$y={\displaystyle \frac{x^2}{4}}$上を動くとき，点$\mathrm{A}(0,a)$と点$\mathrm{P}$の距離$\mathrm{AP}$の最小値を$r(a)$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$r(a)$を求めよ．

(2)　$a=5$のとき，$\mathrm{AP}=r(5)$となるような点$\mathrm{P}$の$y$座標を$b$とする．

(ⅰ)　$b$を求めよ．

(ⅱ)　$D$を，

$y\geqq {\displaystyle \frac{x^2}{4}}\text{，}{x}^2+{(y-5)}^2\geqq {(r(5))}^2\text{，}y\leqq b$

をみたす点$(x,y)$全体の集合とする．$D$を図示せよ．

(ⅲ)　$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【２】　零行列でない行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$に対して，次の命題を考える．

　ただし，$E$は$2$次の単位行列である．

(1)　命題１が正しいことを示せ．

　次に，命題２を命題１の逆とする．

(2)　$a\ne d$とし，$X=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)$に対し，$AX=XA$が成り立つとする．

(ⅰ)　$y$と$z$をそれぞれ，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{，}x\text{，}w$を用いて表せ．

(ⅱ)　$X-{\displaystyle \frac{x-w}{a-d}}A$を計算し，$a\ne d$のとき命題２が正しいことを示せ．

(3)　$a=d$かつ$b\ne 0$のとき，命題２が正しいことを示せ．

(4)　命題２の反例をあげ，それが反例である理由を述べよ．

【３】　半径$a$の円$O$の外に点$\mathrm{S}$をとる．点$\mathrm{S}$を通る直線$l$は中心$\mathrm{O}$を通らず，円$O$と$2$点（$\mathrm{S}$に近いほうから$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$）で交わるとする．直径$\mathrm{A}{\mathrm{A}}^{\prime }$と直径$\mathrm{B}{\mathrm{B}}^{\prime }$を考え，直線${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$と直線$\mathrm{SO}$の交点を${\mathrm{S}}^{\prime }$とする．

(1)　$\mathrm{SA}={\mathrm{S}}^{\prime }{\mathrm{A}}^{\prime }$であることを示せ．

直線$\mathrm{SA}$上に点$\mathrm{H}\text{（}\ne \mathrm{A}\text{）}$を$\mathrm{SA}=\mathrm{AH}$であるようにとる．直線$\mathrm{A}{\mathrm{B}}^{\prime }$と直線${\mathrm{S}}^{\prime }\mathrm{H}$の交点を$\mathrm{P}$とする．

(2)　${\mathrm{S}}^{\prime }\mathrm{P}-\mathrm{SP}=2a$であることを示せ．

(3)　直線$l$が動くとき，点 $\mathrm{P}$はどのような曲線を描くか図示せよ．

点$\mathrm{A}$での円$O$の接線と点${\mathrm{B}}^{\prime }$での円$O$の接線の交点を$\mathrm{Q}$とする．

(4)　三角形$\mathrm{PSA}$と三角形$\mathrm{QOA}$は相似であることを示せ．

【４】　さいころを繰り返し投げるとする．自然数$n$に対して，$n$回目に出た目が$3$の倍数であれば$a_n=1\text{，}$そうでなければ$a_n=0$と定める．$X_0=0$とし，さらに

$X_n={\displaystyle \frac{a_1}{2}}+{\displaystyle \frac{a_2}{2^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{a_n}{2^n}}$

とする．$q_n$を，$X_{n-1}\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$かつ$X_n>{\displaystyle \frac{1}{3}}$となる確率とし，$p_n$を$X_{2n-1}>{\displaystyle \frac{1}{3}}$となる確率とする．

(1)　${\displaystyle \frac{0}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2^2}}+{\displaystyle \frac{0}{2^3}}+{\displaystyle \frac{1}{2^4}}+{\displaystyle \frac{0}{2^5}}+{\displaystyle \frac{1}{2^6}}+\cdots$を求めよ．

(2)　$q_1\text{，}{q}_2\text{，}{q}_3\text{，}{q}_4\text{，}{q}_5$を求めよ．

(3)　$q_{2n-1}$を$n$を用いて表せ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n$を求めよ．