2013　神戸大学　前期MathJax

(1)　点$\mathrm{P}$を$l$上に，点$\mathrm{Q}$を$z$軸上にとる．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$がベクトル$(3,1,-1)$と平行になるときの$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．

(2)　点$\mathrm{R}$を$l$上に，点$\mathrm{S}$を$z$軸上にとる．$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$およびベクトル$(0,0,1)$の両方に垂直になるときの$\mathrm{R}$と$\mathrm{S}$の座標をそれぞれ求めよ．

(3)　$\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$を(2)で求めた点とする．点$\mathrm{T}$を$l$上に，点$\mathrm{U}$を$z$軸上にとる．また，$\overrightarrow{v}=(a,b,c)$は零ベクトルではなく，$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$に垂直ではないとする．$\overrightarrow{\mathrm{TU}}$が$\overrightarrow{v}$と平行になるときの$\mathrm{T}$と$\mathrm{U}$の座標をそれぞれ求めよ．

(1)　$a$を$b\text{，}c$を用いて表せ．

(2)　$b-a\geqq 2$が成り立つことを示せ．

(3)　斜辺$\mathrm{AB}$の長さの最小値と，そのときの$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めよ．

赤色の$2$個のさいころの出た目の数$r_1\text{，}{r}_2$に対し$R=|r_1-r_2|$

緑色の$2$個のさいころの出た目の数$g_1\text{，}{g}_2$に対し$G=|g_1-g_2|$

青色の$2$個のさいころの出た目の数$b_1\text{，}{b}_2$に対し$B=|b_1-b_2|$

とする．次の問いに答えよ．

(1)　$R$がとりうる値と，$R$がそれらの各値をとる確率をそれぞれ求めよ．

(2)　$R\geqq 4\text{，}G\geqq 4\text{，}B\geqq 4$が同時に成り立つ確率を求めよ．

(3)　$RGB\geqq 80$となる確率を求めよ．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と曲線$y=x^3-2x$で囲まれた部分の面積$S$を$c$を用いて表せ．

(3)　(2)で求めた$S$を最小にするような$c$の値を求めよ．

(1)　$f(x)=a\cos x+b$が，

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(x)dx={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\{f(x)\}}^{3}dx$

をみたすとする．このとき，$a\text{，}b$がみたす関係式を求めよ．

(2)　(1)で求めた関係式をみたす正の数$b$が存在するための$a$の条件を求めよ．

出た目の数が$2$以下なら辺$\mathrm{AB}$と平行な方向に移動する．

出た目の数が$3$以上なら辺$\mathrm{AD}$と平行な方向に移動する．

$n$を自然数とするとき，さいころを$2n$回ふった後に動点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$にいる確率を$a_n\text{，}\mathrm{C}$にいる確率を$c_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$a_1$を求めよ．

(2)　さいころを$2n$回ふった後，動点$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}$または$\mathrm{C}$にいることを証明せよ．

(3)　$a_n\text{，}{c}_n$を$n$を用いてそれぞれ表せ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n$をそれぞれ求めよ．