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2013 神戸大学 後期

理科系

配点30点

易□ 並□ 難□

【1】 関数 f (x )=2 x2 +2x +1 ( x- 12 ) の逆関数を g (x ) とする.次の問いに答えよ.

(1) 関数 g (x ) の定義域を求めよ.

(2)  g( x) を求めよ.

(3) 曲線 y =g( x) 上の点と直線 y =2x -1 の距離の最小値と,その最小値を与える y =g( x) 上の点をそれぞれ求めよ.

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理科系

配点30点

易□ 並□ 難□

【2】  x y z を自然数とし, x z 3 でわり切れないとする.行列 A =( xy 0z ) E= ( 10 01 ) に対し,次の問いに答えよ.

(1)  x+z 3 でわり切れるとする.このとき A2-E の成分はすべて 3 でわり切れることを示せ.

(2)  x+z 3 でわった余りが 1 であるとする.このとき A 3+E の成分はすべて 3 でわり切れることを示せ.

(3)  x+z 3 でわった余りが 2 であるとする.このとき A 3-E の成分はすべて 3 でわり切れることを示せ.

(4)  A6- E の成分はすべて 3 でわり切れることを示せ.

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理科系

配点30点

易□ 並□ 難□

【3】  0t 1 とする.空間において,平面 x =t 上にあり,連立不等式

{ y2 1-t2 z 0z 2t z-2 t+2

をみたす点 ( t,y, z) 全体からなる図形の面積を S (t ) とする.また, t 0 から 1 まで動くとき,この図形が通過してできる立体の体積を V とする.次の問いに答えよ.

(1)  S( t) を求めよ.

(2)  V の値を求めよ.

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【4】 数列 { an } n=1 2

a1= 0 an +1= 1 4- an2 n=1 2

をみたすとする.次の問いに答えよ.

(1) すべての自然数 n に対し, 0a n<1 が成り立つことを示せ.

(2)  3 次方程式 x3-4 x+1 =0 は, 0<x <1 においてただひとつの解 α をもつことを示せ.

(3) (2)の α に対し,

| an+1 -α | β | an- α| n=1 2

が成り立つような β 0 <β<1 をひとつ求めよ.

(4) (2)の α に対し limn a n=α が成り立つことを示せ.

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【5】 実数 p q

|p | 1 | q| 1 | p-q | 1

をみたすとする. 0 p q のうち最大の値を M 最小の値を m とする.次の問いに答えよ.

(1)  0M 1 が成り立つことを示せ.

(2)  M-m 1 が成り立つことを示せ.

(3)  pM 1+p が成り立つことを示せ.

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