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2013-10601-0201
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2013 神戸大学 後期
理科系
配点30点
易□ 並□ 難□
【1】 関数 f ⁡(x )=2 ⁢x2 +2⁢x +1 ( x≧- 12 ) の逆関数を g ⁡(x ) とする.次の問いに答えよ.
(1) 関数 g ⁡(x ) の定義域を求めよ.
(2) g⁡( x) を求めよ.
(3) 曲線 y =g⁡( x) 上の点と直線 y =2⁢x -1 の距離の最小値と,その最小値を与える y =g⁡( x) 上の点をそれぞれ求めよ.
2013-10601-0202
【2】 x ,y , z を自然数とし, x ,z は 3 でわり切れないとする.行列 A =( xy 0z ) ,E= ( 10 01 ) に対し,次の問いに答えよ.
(1) x+z が 3 でわり切れるとする.このとき A2-E の成分はすべて 3 でわり切れることを示せ.
(2) x+z を 3 でわった余りが 1 であるとする.このとき A 3+E の成分はすべて 3 でわり切れることを示せ.
(3) x+z を 3 でわった余りが 2 であるとする.このとき A 3-E の成分はすべて 3 でわり切れることを示せ.
(4) A6- E の成分はすべて 3 でわり切れることを示せ.
2013-10601-0203
【3】 0≦t≦ 1 とする.空間において,平面 x =t 上にあり,連立不等式
{ y2≦ 1-t2 z≧ 0z≦ 2⁢t z≦-2 ⁢t+2
をみたす点 ( t,y, z) 全体からなる図形の面積を S ⁡(t ) とする.また, t が 0 から 1 まで動くとき,この図形が通過してできる立体の体積を V とする.次の問いに答えよ.
(1) S⁡( t) を求めよ.
(2) V の値を求めよ.
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【4】 数列 { an } ( n=1 ,2 , ⋯ ) は
a1= 0 ,an +1= 1 4- an2 ( n=1 ,2 ,⋯ )
をみたすとする.次の問いに答えよ.
(1) すべての自然数 n に対し, 0≦a n<1 が成り立つことを示せ.
(2) 3 次方程式 x3-4 ⁢x+1 =0 は, 0<x <1 においてただひとつの解 α をもつことを示せ.
(3) (2)の α に対し,
| an+1 -α |≦ β⁢ | an- α| ( n=1 ,2 ,⋯ )
が成り立つような β ( 0 <β<1 ) をひとつ求めよ.
(4) (2)の α に対し limn→ ∞a n=α が成り立つことを示せ.
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【5】 実数 p , q が
|p |≦ 1 ,| q| ≦1 ,| p-q |≦ 1
をみたすとする. 0 ,p , q のうち最大の値を M , 最小の値を m とする.次の問いに答えよ.
(1) 0≦M ≦1 が成り立つことを示せ.
(2) M-m≦ 1 が成り立つことを示せ.
(3) p≦M≦ 1+p が成り立つことを示せ.