2013　和歌山大学　前期MathJax

$a_1=-15\text{，}{a}_3=-33\text{，}{a}_5=-35$

$\{b_n\}$は$\{a_n\}$の階差数列

$\{b_n\}$は等差数列

また，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　一般項$a_n\text{，}{b}_n$を求めよ．

(2)　$S_n$を求めよ．

(3)　$S_n$が最小となるときの$n$を求めよ．

(1)　次の式が成り立つことを示せ．

$\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )=2\cos \alpha \sin \beta$

(2)　自然数$n$に対して，

$2{\displaystyle \sum _{k=1}^n}\cos 2k\theta \sin \theta =\sin (2n+1)\theta -\sin \theta$

が成り立つことを示せ．

(3)　自然数$n$に対して，

$\tan {\displaystyle \frac{\pi }{4n}}={\displaystyle \frac{1}{1+2{\displaystyle \sum _{k=1}^n}\cos {\displaystyle \frac{k\pi }{2n}}}}$

が成り立つことを示せ．

$C_1\text{：}{(x-2a)}^2+y^2=a^2\text{，}{C}_2\text{：}y={\displaystyle \frac{2}{5a^2}}{x}^2+1$

$C_1$の中心を$\mathrm{P}\text{，}{C}_2$の頂点を$\mathrm{Q}$とし，

${\mathrm{PR}}^2-{\mathrm{QR}}^2=a^2-1$

を満たす点$\mathrm{R}$の軌跡を$C_3$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$C_3$を表す方程式を求めよ．

(2)　$C_1$と$C_3$が共有点をもつとき，$C_2$と$C_3$は共有点をもたないことを示せ．

(1)　$b$を$a$を用いて表せ．

(2)　$b$を最大にする$a$の値と，そのときの$b$の値を求めよ．

(1)　$t_0$を求めよ．

(2)　$0<x<t_0$の範囲で$C$は上に凸であることを示せ．

(3)　$C$と$l_0$と$y$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．