2013　鳥取大学　前期MathJax

(1)　この$2$次方程式の解を求めよ．

(2)　(1)で求めた解のうち，虚部が正のものを$\alpha \text{，}$負のものを$\beta$とおく．このとき，以下の値を求めよ．

(ア)　${\alpha }^4$

(イ)　${\alpha }^3$

(ウ)　$\alpha \beta$

(エ)　${\alpha }^{1010}$

(オ)　${\alpha }^{2017}{\beta }^{2013}$

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$2$直線$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}:\mathrm{DB}$および$OD:\mathrm{DC}$を求めよ．

(3)　四角形$\mathrm{OACB}$および三角形$\mathrm{OAC}$の面積を求めよ．

${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{{a_n}^2}}=3^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

また，$a_1=1$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$b_n={\log }_3{a}_n$とおくとき，$b_n$を$n$の式で表せ．

(2)　$a_n\geqq {10}^{100}$となる最小の$n$を求めよ．ただし，${\log }_{10}3=0.4771$とする．

(1)　この方程式を満たす自然数の組$(x,y)$はいくつあるか求めよ．

(2)　$s=-x+2y$とするとき，$s$の最大値と最小値を求めよ．

(3)　$t=|2x-5y|$とするとき，$t$の最大値と最小値を求めよ．

(1)　関数$f(x)$の増減を調べ，最大値，最小値を求めよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(x)dx$を求めよ．

(1)　次の関係式が成り立つことを証明せよ．

$I=J-e^{-x}\sin x\text{，}J=-I-e^{-x}\cos x$

(2)　$I\text{，}J$を求めよ．

(3)　曲線$y=e^{-x}\sin x\text{（}x\geqq 0\text{）}$と$x$軸とで囲まれた図形で$x$軸の下側にある部分の面積を，$y$軸に近い方から順に$S_1\text{，}{S}_2\text{，}{S}_3\text{，}\cdots$とするとき，無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n$を求めよ．

$z={\displaystyle \frac{ip\alpha (t)+\beta (t)}{ip\beta (t)+\alpha (t)}}$

の実部および虚部でそれぞれ与える．ただし$i$は虚数単位とする．

(1)　${\{\alpha (t)\}}^2-{\{\beta (t)\}}^2=1$となることを示し，$x\text{，}y$を$t$の関数として表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$の$x$座標の$t\to \infty$および$t\to -\infty$のときの極限値をそれぞれ求めよ．

(3)　$p\ne 0$のとき，点$\mathrm{P}$の描く曲線を$x$と$y$の関係式で表せ．