2013　鳥取大学　後期工学部MathJax

(1)　平面$\mathrm{OXY}$上の点$\mathrm{Z}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OZ}}=\overrightarrow{z}$とする．$2$つの実数$m\text{，}n$を使って$\overrightarrow{z}=m\overrightarrow{x}+n\overrightarrow{y}$とおくとき，$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{z}=0\text{，}$$\overrightarrow{y}\cdot \overrightarrow{z}>0\text{，}$$\left|\overrightarrow{z}\right|=1$となるような$m\text{，}n$を$a$を用いて表せ．

(2)　平面$\mathrm{OXY}$上にない点$\mathrm{P}$と平面$\mathrm{OXY}$上の点$\mathrm{Q}$をとり，それぞれ，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とし，$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{x}=b\text{，}$$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{z}=c$とする．$2$つの実数$s\text{，}$$t$を使って$\overrightarrow{q}=s\overrightarrow{x}+t\overrightarrow{z}$とおくとき，

$d={|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}|}^2$

を$\overrightarrow{p}\text{，}b\text{，}c\text{，}s\text{，}t$を用いて表せ．ただし，$\overrightarrow{z}$は(1)で求めたベクトルとする．

(3)　(2)において，点$\mathrm{P}$を固定し点$\mathrm{Q}$を平面$\mathrm{OXY}$上で動かすとき，$d$を最小にするような$s\text{，}$$t$を$b\text{，}$$c$を用いて表せ．

$A=\left(\begin{array}{cc}6& 3\\ 5& 4\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$A(A-E)$を求めよ．

(2)　$A(A-E)=k(A-E)$が成り立つような実数$k$を求めよ．

(3)　$A^{n-1}(A-E)$を求めよ．ただし，$n$は$2$以上の自然数とする．

(4)　$A^n$を求めよ．ただし，$n$は自然数とする．

曲線$C$と直線$y=t$および$x=1$とが囲む図形の面積を$S_1(t)\text{，}$

曲線$C$と曲線$y=t$および$x=2$とが囲む図形の面積を$S_2(t)$

とする．次の問いに答えよ．

(1)　$S_1(t)=S_2(t)$が成り立つような$t$の値を求めよ．

(2)　$F(t)=S_1(t)+S_2(t)$とおくとき，$F(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．