2013　島根大学　前期MathJax

(1)　$n=5$のとき，線分の数，異なる$2$本の線分の組の数，そのうち円の内部で交わっている組の数をそれぞれ求めよ．また，異なる$2$本の線分を$1$組選ぶとき，その$2$本が円の内部で交わっている確率を求めよ．

(2)　一般に，異なる$2$本の線分を$1$組選ぶとき，その$2$本が円の内部で交わっている確率を$n$を用いて表せ．

(1)　関数$f(x)$を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$上の点$(t,f(t))$における接線の方程式を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$に接し，原点$(0,0)$を通る直線の本数を求めよ．

$a_1=1\text{，}$$b_1=0\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{4}}{a}_n-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}{b}_n\text{，}$$b_{n+1}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}{a}_n+{\displaystyle \frac{1}{4}}{b}_n$

によって定め，座標が$(a_n,b_n)$である点を${\mathrm{C}}_n$とする．原点を$\mathrm{O}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{{\mathrm{OC}}_n}$の大きさ$\left|\overrightarrow{{\mathrm{OC}}_n}\right|$を，$n$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{{\mathrm{OC}}_n}$と$\overrightarrow{{\mathrm{OC}}_{n+1}}$のなす角を求めよ．

(3)　$▵{\mathrm{OC}}_n{\mathrm{C}}_{n+1}$の面積を$S_n$とするとき，$S_n\leqq {\displaystyle \frac{1}{2^{2013}}}$をみたす最小の自然数$n$を求めよ．

(1)　異なる$2$点$(-3,-3)\text{，}(a,b)$を通る直線の方程式を求めよ．ただし，$a\text{，}b$は実数とする．

(2)　媒介変数表示

$x=2\cos t\text{，}y=-{\sin }^{2}t$

で表される曲線の概形をかけ．

(3)　関数$f(t)={\displaystyle \frac{-{\sin }^{2}t+3}{2\cos t+3}}$の最大値および最小値を求めよ．

(1)　$A$を求めよ．

(2)　$B={\displaystyle \frac{1}{2}}{A}^3$とする．$B$の表す移動によって，点${\mathrm{P}}_1$が移る点を${\mathrm{P}}_2$と定め，点${\mathrm{P}}_2$が移る点を${\mathrm{P}}_3$と定める．以下同様にして$B$の表す移動によって点${\mathrm{P}}_{n-1}$が移る点を${\mathrm{P}}_n$と定める．このとき，点${\mathrm{P}}_n$の座標を求めよ．

(3)　(2)で定めた点${\mathrm{P}}_n$から曲線$y=x^2$に引いた接線で，$x$軸に平行でないものの傾きを$a_n$とおく．このとき，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$を求めよ．

(1)　$k\text{，}l$を自然数で，$k>l$とする．$l$から$k$までの$k-l+1$個の自然数から，同じものを繰り返し使うことを許して$3$個取り出して並べた数列を作る．そのうち，$k$と$l$の両方を含む数列の総数を$k$と$l$を用いて表せ．

(2)　さいころを$3$回投げるとき，$3$つの出た目の最大値を$M\text{，}$最小値を$m$とし，$R=M-m$とする．$R$の期待値を求めよ．

(1)　関数$y=f(x)$は$x=0$で微分可能かどうかを調べよ．

(2)　関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=-x$の交点を求めよ．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }x\log (1-x)dx$を求めよ．

(4)　$x\leqq 0$において関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=-x$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$は直角三角形であることを示せ．

(2)　原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線を下ろし，その交点を$\mathrm{H}$とするとき，点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$に外接する球の中心の座標を求めよ．