2013　広島大学　前期MathJax

【１】　放物線$y=2x^2-8$を$C$とする．$x$軸上の点$\mathrm{A}(a,0)\text{（}a>0\text{）}$を通り$C$と接する直線が$2$本あるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$2$つの接点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とする．$\beta -\alpha =3$のとき，$a$の値と$2$本の接線の方程式を求めよ．

(3)　(2)で求めた$2$本の接線と$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　座標平面上に点$\mathrm{A}(\cos \theta ,\sin \theta )\text{（}0<\theta <\pi \text{）}$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，$x$軸に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{B}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$-1<\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$となる$\theta$の範囲を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$を

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

で定める．点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とする．$\theta$が(1)で求めた範囲を動くとき，$▵\mathrm{POQ}$の面積の最大値を求めよ．

【３】　関数$f(x)={\log }_2(x+1)$に対して，次の問いに答えよ．

(1)　$0$以上の整数$k$に対して，$f(x)={\displaystyle \frac{k}{2}}(f(1)-f(0))$を満たす$x$を$k$を用いて表せ．

(2)　(1)で求めた$x$を$x_k$とおく．$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}k(x_k-x_{k-1})$を$n$を用いて表せ．

【４】　座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とし，$2$点$\mathrm{P}(0,1)\text{，}\mathrm{Q}(s,0)$を考える．$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を通る直線を$l$とし，$l$と$C$の交点のうち$\mathrm{P}$ではないものを$\mathrm{R}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{R}$の座標を$s$を用いて表せ．

(2)　$x$座標と$y$座標がともに有理数である点を有理点という．$s$が有理数のとき，$\mathrm{R}$は有理点であることを示せ．

【５】　座標平面上の点で，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．$n$を$3$以上の自然数とし，連立不等式

$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{，}x+y\leqq n$

の表す領域を$D$とする．格子点$\mathrm{A}(a,b)$に対して，領域$D$内の格子点$\mathrm{B}(c,d)$が$|a-c|+|b-d|=1$を満たすとき，点$\mathrm{B}$を点$\mathrm{A}$の隣接点という．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{O}(0,0)$の隣接点をすべて求めよ．また，領域$D$内の格子点$\mathrm{P}$が直線$x+y=n$上にあるとき，$\mathrm{P}$の隣接点の個数を求めよ．

(2)　領域$D$内の格子点のうち隣接点の個数が$4$であるものの個数を求めよ．

(3)　領域$D$から格子点を$1$つ選ぶとき，隣接点の個数の期待値が$3$以上となるような$n$の範囲を求めよ．ただし，格子点の選ばれ方は同様に確からしいものとする．

【１】　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．座標平面上で原点$\mathrm{O}$を通り傾きが$\tan \theta$の直線を$l$とし，行列

$\left(\begin{array}{cc}{\cos }^2\theta & \sin \theta \cos \theta \\ \sin \theta \cos \theta & {\sin }^2\theta \end{array}\right)$

の表す$1$次変換を$f$とする．座標平面上に$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$がある．次の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{OP}$が直線$l$と垂直であるとき，$1$次変換$f$による点$\mathrm{P}$の像を求めよ．

(2)　$1$次変換$f$による点$\mathrm{Q}$の像を$\mathrm{R}$とする．このとき$\left|\overrightarrow{\mathrm{OR}}\right|\leqq \left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|$が成り立つことを示せ．さらに等号が成立する場合を調べよ．

(3)　$1$次変換$f$による点$(1,1)$の像を$\mathrm{S}$とする．このとき$\left|\overrightarrow{\mathrm{OS}}\right|$が最大となる$\theta$と最小となる$\theta$をそれぞれ求めよ．

【２】　座標平面上の点で，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．$n$を$3$以上の自然数とし，連立不等式

$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{，}x+y\leqq n$

の表す領域を$D$とする．格子点$\mathrm{A}(a,b)$に対して，領域$D$内の格子点$\mathrm{B}(c,d)$が$|a-c|+|b-d|=1$を満たすとき，点$\mathrm{B}$を点$\mathrm{A}$の隣接点という．次の問いに答えよ．

(1)　領域$D$内の格子点のうち隣接点の個数が$4$であるものの個数を求めよ．

(2)　領域$D$から格子点を$1$つ選ぶとき，隣接点の個数の期待値が$3$以上となるような$n$の範囲を求めよ．ただし，格子点の選ばれ方は同様に確からしいものとする．

(3)　領域$D$から異なる格子点を$2$つ選ぶとき，互いに隣接点である確率を求めよ．ただし，異なる格子点の選ばれ方は同様に確からしいものとする．

【３】　座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(0,1)\text{，}\mathrm{B}(t,0)$を考える．ただし，$t\geqq 0$とする．次の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{AB}$を$1$辺とする正三角形は$2$つある．それぞれの正三角形について，$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$以外の頂点の座標を$t$を用いて表せ．

(2)　(1)で求めた$2$点のうち$x$座標が小さい方を$\mathrm{C}$とする．$t$を動かすとき，点$\mathrm{C}$の軌跡を図示せよ．

(3)　$k$を定数とする．点$\mathrm{B}$と直線$y=kx$上の点$\mathrm{P}$をそれぞれうまく選ぶことで$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{P}$を頂点とする正三角形ができるとき，$k$の値の範囲を求めよ．

【４】　平面上の$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$は$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=1$かつ$\angle \mathrm{AOB}=\theta$$\text{（}0<\theta <\pi \text{）}$を満たすとする．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$t>1$として，点$\mathrm{C}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=-t\overrightarrow{\mathrm{OM}}$となるように定める．$▵\mathrm{ABC}$の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$S$を$t$と$t$を用いて表せ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=1$のとき，$S$を$t$のみを用いて表せ．

(3)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=1$のとき，$S$が最大となる$t$の値を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)　$x\geqq 2$のとき，$x^4{e}^{-3x}\leqq 16e^{-6}$を示せ．また，これを用いて$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^3{e}^{-3x}$を求めよ．

(2)　$k$を定数とする．$x>0$の範囲で方程式

$x{e}^{-3x}={\displaystyle \frac{k}{x^2}}$

がちょうど$2$つの解$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$をもつような$k$の値の範囲を求めよ．

(3)　(2)の$\alpha \text{，}\beta$が$\beta =2\alpha$を満たすとき，曲線$y=x{e}^{-3x}\text{（}x>0\text{）}$と曲線$y={\displaystyle \frac{k}{x^2}}\text{（}x>0\text{）}$で囲まれた部分の面積を求めよ．