2013　広島大学　後期MathJax

【１】　右図の$1$で示される頂点に石を一つ置く．さいころを$1$回投げるたびに，次の規則(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)にしたがって石を動かす．

(Ⅰ)　出た目が$1$または$2$の場合，太線に沿って時計回りに隣の頂点へ動かす．

(Ⅱ)　出た目が$3$または$4$の場合，太線に沿って反時計回りに隣の頂点へ動かす．

(Ⅲ)　出た目が$5$または$6$の場合，対角線に沿って向かいの頂点へ動かす．

ただし，さいころの目の出方は同様に確からしいとする．次の問いに答えよ．

(1)　さいころを$2$回投げたとき，石が$1$で示される頂点に戻る確率$p_1$を求めよ．

(2)　さいころを$3$回投げたとき，石が$1$で示される頂点に戻る確率$p_2$を求めよ．

(3)　さいころを$4$回投げたとき，石が$1$で示される頂点に戻る確率$p_3$を求めよ．

【２】　$1$から$100$までの整数のうち，先頭が$1$で始まるものは$1\text{，}10\text{，}11\text{，}12\text{，}\cdots \text{，}19\text{，}100$の$12$個ある．

(1)　$1$から$1000$までの整数のうち，先頭が$1$で始まるものの個数を求めよ．

(2)　$n$を$1$以上の整数とする．$1$から${10}^n$までの整数のうち，先頭が$1$で始まるものの個数を求めよ．また，それらの和を求めよ．

(3)　$n\geqq 3$ならば，(2)で求めた個数は$8$の倍数になることを示せ．

【３】　空間内に四面体$\mathrm{OABC}$がある．$\mathrm{O}$は原点で，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は以下の条件を満たしているものとする．

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=3\text{，}$

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=1\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=a\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=1$．

ただし$a$は実数とする．次の問いに答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．

(2)　ベクトル$p\overrightarrow{\mathrm{OA}}+q\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}$が$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と直交するような実数$p\text{，}q$を$a$を用いて表せ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積が最大となるような$a\text{，}$およびそのときの体積を求めよ．

【４】　$a$を実数とし，$f(x)={\displaystyle \frac{\log x+a}{\sqrt{x}}}$とする．曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(b,f(b))$における接線$l$が原点$\mathrm{O}$を通るとする．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．次の問いに答えよ．

(1)　$b$を$a$を用いて表せ．

(2)　$f(x)$は$0<x<b$において増加し，曲線$y=f(x)$はこの範囲で上に凸であることを示せ．

(3)　接点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．直角三角形$\mathrm{OPQ}$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる円錐の体積は，$a$によらず一定であることを示せ．

(4)　曲線$y=f(x)\text{（}x\leqq b\text{）}$と接線$l\text{，}$および$x$軸とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積は，$a$によらず一定であることを示せ．またその値を求めよ．

【５】　座標平面の原点を$\mathrm{O}$とする．平面上の点${\mathrm{P}}_1$に対して点${\mathrm{P}}_2$を$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2}=2\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1}$で定め，また直線$y=x$に関して${\mathrm{P}}_2$と対称な点を${\mathrm{P}}_3$とする．さらに直線$y=kx$に関して${\mathrm{P}}_3$と対称な点を${\mathrm{P}}_4$とする．ただし$k$は実数とする．点${\mathrm{P}}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{）}$の座標を$(x_n,y_n)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\mathrm{P}}_4$の座標を$x_3\text{，}{y}_3$および$k$を用いて表せ．

(2)　$\left(\begin{array}{c}{x}_4\\ y_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)$を満たす$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を$k$を用いて表せ．

(3)　(2)で求めた$a\text{，}b$について，$a=2\cos \theta \text{，}b=2\sin \theta$となる実数$\theta$が存在することを示せ．

【１】　空間上の$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(\alpha ,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,\beta ,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,1)$を考える．ただし$\alpha \text{，}\beta >0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と，直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．

(4)　$V={\displaystyle \frac{3}{2}}$という条件のもとで，$S$を最小とする$\alpha \text{，}\beta$の値，および$S$の最小値を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{n}{n^2+k^2}}$を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(2)　自然数$n$に対し

$I_n={\displaystyle {\int }_0^{2\pi n}}{e}^{-x}\cos xdx\text{，}{J}_n={\displaystyle {\int }_0^{2\pi n}}{e}^{-x}\sin xdx$

とおく．$I_n$と$J_n$を求め，さらに$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$と$\underset{n\to \infty }{\lim }{J}_n$を求めよ．

【３】　原点を中心とする半径$1$の円周上に点$\mathrm{A}(\cos \alpha ,\sin \alpha )$と点$\mathrm{B}(-1,0)$をとる．ただし$0\leqq \alpha <\pi$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　この円周上にさらに点$\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta )$をとったとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}$を求めよ．

(2)　(1)で求めた式を$\theta$の関数とみなして$f(\theta )$とおく．$\theta$が$0\leqq \theta <2\pi$を動くとき，$f(\theta )$の最大値と最小値，およびそれらの値を取るときの$\theta$を求めよ．

(3)　(2)で求めた$f(\theta )$の最小値を$\alpha$の関数とみなして$g(\alpha )$とおく．$g(\alpha )$の最小値，および最小値を取るときの$\alpha$を求めよ．

【４】　$m$を自然数，$n$を$2$以上の整数とする．$m$から始まる連続した$n$個の自然数の和を$S(m,n)$と書く．以下の問いに答えよ．

(1)　$S(m,n)$を求めよ．

(2)　$S(m,n)=90$を満たすような$(m,n)$の組をすべて求めよ．

(3)　$S(m,n)=1024$を満たすような$(m,n)$の組は存在しないことを示せ．

【５】　図１のような街路がある（上を北とする）．$\mathrm{S}$地点を出発点として$\mathrm{G}$地点をゴールとする．サイコロを投げて，偶数が出たら東に向かって$1$ブロック進み，奇数が出たら北に向かって$1$ブロック進む．もし，進む先がない場合は動かないものとする．以下の問いに答えよ．

(1)　ちょうど$5$回のサイコロ投げでゴールに到達する確率を求めよ．

(2)　$m$回以内にゴールに到達する確率$p_m$を求めよ．また，ちょうど$m$回でゴールに到達する確率$q_m$を求めよ．ただし$m\geqq 5$とする．

(3)　図２の$\mathrm{A}$地点を通り，$m$回以内にゴールに到達する確率$r_m$を求めよ．ただし$m\geqq 5$とする．