2013　広島大学　後期総合問題MathJax

【１】

問１　一般に関数$f(x)$は，

$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+{\displaystyle \frac{1}{2!}}{f}^{″}(0)x^2+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n!}}{f}^{(n)}(0)x^n+\cdots \text{①}$

と展開することができる．ここで，$f^{(n)}(x)$は$f(x)$の$n$次導関数である．

(1)　$f(x)=e^x$を$\text{①}$にならって展開したときの具体的な形を書け．

問２　$m$を正定数として，$P(k)={\displaystyle \frac{m^k}{k!}}{e}^{-m}\text{，}\text{（}k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$で表される数列がある．

(1)　$S={\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }}P(k)$を求めよ．

(2)　$Q={\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }}kP(k)$を求めよ．

【１】

問３　放射性原子核の数は，放射性崩壊によって減少し，原子核によって決まった半減期$T$ごとに${\displaystyle \frac{1}{2}}$になる．

(1)　$t=0$における放射性原子核の数を$N_0$としたとき，時刻$t$における未崩壊の放射性原子核の数$n(t)$の表式を書け．

(2)　時刻$t$における崩壊率${\displaystyle \frac{dn(t)}{dt}}$を$T$と$n(t)$を用いて表せ．

次に，放射性原子核が生物の体内に取り入れられた場合を考える．このとき生物の体内の放射性原子核の数は放射性崩壊として減少するとともに，生物の排泄作用によっても減少することが知られており，この排泄作用による減少も，生物学的半減期$T_s$を用いて(1)と同様な関数形で表すことができる．

(3)　$t=0$における生物の体内の放射性原子核数を$N_0$とするとき，放射性崩壊半減期と生物学的半減期の両方を考慮した場合の，時刻$t$における未崩壊の放射性原子核の数$n(t)$の数式を記せ．

【１】

問４　点$\mathrm{P}$の位置ベクトル$\overrightarrow{r}=(x,y)$が，$\theta$を媒介変数として以下のように定義されている．

$\{\begin{array}{l}x=a\theta -a\sin \theta \\ y=a-a\cos \theta \end{array}\text{②}$

ただし，$a$は正の定数である．

(1)　$\theta$が$0$から$2\pi$まで変化するとき点$\mathrm{P}$の軌跡が描く曲線の長さを求めよ．

(2)　(1)の軌跡と$y=0$で囲まれた部分の面積を求めよ．

(3)　(1)の軌跡を$x$軸の周りに回転させたときに，できる立体の体積を求めよ．

$\text{②}$において，時刻$t$における$\theta$が$\theta =\omega t$（$\omega$は定数）で表されるとする．

(4)　時刻$t$における$\mathrm{P}$の速度ベクトルを求めよ．

(5)　時刻$t$における$\mathrm{P}$の加速度の大きさを求めよ．