2013　山口大学　後期MathJax

【１】　$1$辺の長さが$4$ の正四面体$\mathrm{OABC}$において，三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．

(2)　直線$\mathrm{OG}$は，三角形$\mathrm{ABC}$の定める平面に垂直であることを証明しなさい．

(3)　線分$\mathrm{OG}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$三角形$\mathrm{OBC}$の重心を$\mathrm{E}$としたとき，$\mathrm{DG}=\mathrm{DE}$であることを証明しなさい．

(4)　正四面体$\mathrm{OABC}$に内接する球の体積を求めなさい．

【２】　$xy$平面上の曲線

$y=\mathrm{os}(ax+b)+c\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$と$y=\sin 3x\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$

をそれぞれ$C_1\text{，}{C}_2$とする．曲線$C_1$が右の図のようになるとき，次の問いに答えなさい．ただし，$a\text{，}b\text{，}c$は実数とし，$a>0\text{，}0\leqq b<2\pi$とする．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$の値を求め，解答欄に答えのみを書きなさい．

(2)　曲線$C_1$と$x$軸との共有点のうち，点$(0,0)\text{，}(\pi ,0)\text{，}(2\pi ,0)$以外の点の$x$座標を求めなさい．

(3)　${\displaystyle \frac{\pi }{3}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{4}{3}}\pi$のとき，$\sin 3\theta +\cos 2\theta +{\displaystyle \frac{1}{2}}=0$を満たす$\theta$の値を求めなさい．

(4)　曲線$C_1$と$C_2$の共有点の$x$座標を求めなさい．

(5)　$2$曲線$C_1\text{，}{C}_2$で囲まれた部分の面積を求めなさい．

【３】　$xy$平面において，条件

「$t$の$3$次方程式$t^3-3t^2+3xt-y=0$は虚数解をもたず，解はすべて$0$以上の実数である」

を満たす点$(x,y)$全体の集合を$S$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　点$({\displaystyle \frac{1}{3}},y)$が$S$に属するような$y$の値の範囲を求めなさい．

(2)　集合$S$が表す図形の面積を求めなさい．