2013　徳島大学　後期総合科学（理系），工学部MathJax

【１】　$\alpha \text{，}\beta$を実数とし，$A=\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & \sin \alpha \\ \sin \alpha & -\cos \alpha \end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}\cos \beta & \sin \beta \\ \sin \alpha & -\cos \beta \end{array}\right)$とする．

(1)　$AB=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$を満たす$\theta$を$\alpha \text{，}\beta$を用いて表せ．

(2)　$\alpha ={\displaystyle \frac{7\pi }{6}}\text{，}\beta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$C=AB$とする．$C$および$C^3$を求めよ．

(3)　$n$を自然数とする．(2)の$C$に対し，$C^{3n-1}$を求めよ．

【２】　曲線$y=\sqrt{x}\text{（}x>0\text{）}$上の点$\mathrm{P}(a,t)$における法線を$l_1$とし，曲線$y=\sqrt{2-x}\text{（}x<2\text{）}$上の点$\mathrm{Q}(b,t)$における法線を$l_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$b$を$a$を用いて表せ．

(2)　法線$l_1$と$l_2$の交点の$x$座標を求めよ．また，交点の$y$座標を$t$を用いて表せ．

(3)　$t$が変化するとき，(2)の交点の$y$座標の最小値を求めよ．また，この最小値をとるときの$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

【３】　$n$は自然数とする．数列$\{a_n\}$を初項$2\text{，}$公差$4$の等差数列とし，数列$\{b_n\}$を初項$1\text{，}$公比$x$の等比数列とする．ただし，$x\ne 1$とする．

(1)　一般項$a_n\text{，}{b}_n$を求めよ．また，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k$とするとき，$S_n$を求めよ．

(2)　$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}k{b}_k$とする．$T_n={\displaystyle \frac{1-(n+1)x^n+n{x}^{n+1}}{{(1-x)}^2}}$が成り立つことを示せ．

(3)　$x={\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，和${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k{b}_k$を求めよ．