2013　香川大学　前期MathJax

【１】　次の問に答えよ．

1.　座標平面上の原点$\mathrm{O}$を通り，$x$軸とのなす角が$30\mathrm{°}$で傾きが正の直線と，放物線$y=x^2$の交点で$\mathrm{O}$と異なるものを$\mathrm{A}$とおく．点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

2.　線分$\mathrm{OA}$を$1$辺とする正方形$\mathrm{OABC}$をつくる．ただし，点$\mathrm{C}$は第$2$象限にとる．点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めよ．

3.　直線$\mathrm{OB}$に垂直で，放物線$y=x^2$に接する直線の方程式を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$を次のように定める．

$a_1=2\text{，}$

$\{\begin{array}{c}{a}_n<100\text{のとき，}{a}_{n+1}=a_n+3\\ a_n\geqq 100\text{のとき，}{a}_{n+1}=a_n-100\end{array}$

このとき，次の問に答えよ．

1.　$a_n>a_{n+1}$を満たす最小の自然数$n$を$m$とおく．$m\text{，}{a}_m$および${\displaystyle \sum _{k=1}^m}{a}_k$を求めよ．

2.　$a_{105}$および${\displaystyle \sum _{k=1}^{105}}{a}_k$を求めよ．

【３】　$x$が$3<x<6$の範囲にあるとき，次の問に答えよ．

1.　この範囲ではつねに${\displaystyle \frac{1}{x-3}}+{\displaystyle \frac{4}{6-x}}\geqq 3$が成立することを示せ．

2.　この範囲でつねに${\displaystyle \frac{5}{x-3}}+{\displaystyle \frac{4}{6-x}}\geqq a$が成立するような$a$の最大値を求めよ．

【４】　$a>0$のとき，$2$つの放物線$y=x^2-2\text{，}y=-a{x}^2+ax-1$について，次の問に答えよ．

1.　$2$つの放物線の交点の座標を求めよ．

2.　$2$つの放物線で囲まれた図形の面積を求めよ．

【３】　$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 2& 3\end{array}\right)\text{，}P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& -1\end{array}\right)$とおくとき，次の問に答えよ．

1.　$P$の逆行列$P^{-1}$を求めよ．

2.　$P^{-1}AP$を求めよ．

3.　$B=P^{-1}AP$とおく．$n$が自然数のとき，$B^n$を求めよ．

4.　$n$が自然数のとき，$A^n$を求めよ．

【４】　$0<p_1<p_2\text{，}1<r_2$とする．中心${\mathrm{O}}_1(p_1,0)\text{，}$半径$1$の円$C_1$と，中心${\mathrm{O}}_2(p_2,0)\text{，}$半径$r_2$の円$C_2$は点$\mathrm{T}$で外接している．また円$C_1\text{，}{C}_2$はともに放物線$C\text{：}x=y^2$に接している．円$C_1$と放物線$C$との接点で第$1$象限にあるものを${\mathrm{Q}}_1({q_1}^2,q_1)\text{，}$円$C_2$と放物線$C$との接点で第$1$象限にあるものを${\mathrm{Q}}_2({q_2}^2,q_2)$とおくとき，次の問に答えよ．

1.　$p_1\text{，}{p}_2\text{，}{q}_1\text{，}{q}_2\text{，}{r}_2$を求めよ．

2.　放物線$C$と弧$\stackrel{⏜}{{\mathrm{Q}}_1\mathrm{T}}$および弧$\stackrel{⏜}{{\mathrm{Q}}_2\mathrm{T}}$で囲まれた図形を$D$とするとき，$C\text{，}{C}_1\text{，}{C}_2$の概形をかき，$D$を図示せよ．ただし，ここでいう弧とは，その中心角が$180\mathrm{°}$以下のものをいう．

3.　$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

【１】　関数$f(x)=x^4+x^3$について，次の問に答えよ．

1.　この関数のグラフの概形をかけ．

2.　この関数のグラフ上の$3$点

$\mathrm{P}(t-1,f(t-1))\text{，}\mathrm{Q}(t,f(t))\text{，}\mathrm{R}(t+1,f(t+1))$

を頂点とする三角形の面積$S(T)$を$t$の式で表せ．

3.　$S(t)$の最小値を求めよ．

【２】　$0<\theta \leqq \pi$に対して$A=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$とおく．$n$を$2$以上の自然数とするとき，次の問に答えよ．

1.　$A^n$を求めよ．

2.　$S_n=E+A+A^2+\cdots +A^{n-1}$とおくとき，$S_n=P(A^n-E)$となる行列$P$を求めよ．ここで，$E$は単位行列である．

3.　$\theta ={\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$のとき，$1+\cos \theta +\cos 2\theta +\cdots +\cos n\theta$を求めよ．

【３】　座標平面上の点$(x,y)$は，$x\text{，}y$がともに整数のとき格子点という．

　原点$(0,0)$に番号$1$をふり，以下$(1,0)$に番号$2\text{，}(1,1)$に番号$3$と，各格子点に図のように反時計回りに番号をふっていく．このとき，次の問に答えよ．

1.　$n$が自然数のとき，格子点$(n,-n)$にふられる番号を$n$の式で表せ．

2.　$n$が自然数のとき，格子点$(n+1,n+1)$にふられる番号を$n$の式で表せ．

3.　番号$1000$がふられる格子点の座標を求めよ．

【４】　曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$について，次の問に答えよ．

1.　曲線$C$の概形をかけ．

2.　$C$の変曲点$\mathrm{P}$における，$C$の接線$l$の方程式を求めよ．

3.　$l$と$C$は，$\mathrm{P}$以外に共有点をもたないことを示せ．