2013　愛媛大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$\theta$が方程式

$\cos 2\theta -2\sin \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$

を満たすとき，$\sin \theta$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　不等式${\log }_{\frac{1}{2}}(2-x)<{\log }_{\frac{1}{4}}(2-x)$を解け．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$x$の多項式$x^4-px+q$が${(x-1)}^2$で割り切れるとき，定数$p\text{，}q$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　空間内に$5$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$があり，次の等式を満たしている．

$\overrightarrow{\mathrm{EA}}+\overrightarrow{\mathrm{EB}}+\overrightarrow{\mathrm{EC}}+\overrightarrow{\mathrm{ED}}=\overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}$

$\overrightarrow{\mathrm{EB}}$を$\overrightarrow{\mathrm{EA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EC}}$を用いて表せ．ただし，$\overrightarrow{0}$は零ベクトルである．

【２】　$2$つの直線$l_1\text{：}y=-2x+3$と$l_2\text{：}y=5$の交点を$\mathrm{A}\text{，}{l}_2$と$y$軸の交点を$\mathrm{B}$とする．

(1)　点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

(2)　$\mathrm{O}$を原点とする．$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る円の方程式を求めよ．

(3)　(2)で求めた円を$C_1$とし，円$x^2+y^2=4$を$C_2$とする．

(ⅰ)　点$(\alpha ,\beta )$が$C_1$と$C_2$の交点であるとき

$\alpha -5\beta +4=0$

が成り立つことを示せ．

(ⅱ)　$C_1$と$C_2$の$2$つの交点を結ぶ線分の長さを求めよ．

【３】　$f(x)=x^2-x$とする．

(1)　放物線$y=f(x)$と直線$y=2x$で囲まれた図形の面積を求めよ．

(2)(ⅰ)　関数$y=f(x)$と$y=2\left|x\right|$のグラフの共有点の座標を求めよ．

(ⅱ)　関数$y=f(x)$と$y=2\left|x\right|+k$のグラフの共有点の個数が$2$となる定数$k$の値の範囲を求めよ．

【４】　$1$から$40$までの番号をつけた$40$枚のカードが$2$組ある．これら$80$枚のカードを袋に入れてよくかき混ぜて，同時に$3$枚を取り出すとき，次の確率を求めよ．

(1)　$3$つの番号がすべて$3$の倍数である確率

(2)　$3$つの番号の積が$3$の倍数である確率

(3)　$3$つの番号の和が$3$の倍数である確率

【５】　次の問いに答えよ．

(1)　$i$を虚数単位とする．等式

${(1+i)}^{14}=a+bi$

を満たす実数$a\text{，}b$の値を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(3)　$\theta$が方程式

$\cos 2\theta -2\sin \theta ={\displaystyle \frac{47}{50}}$

を満たすとき，$\sin \theta$の値を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(4)　次の極限値を求めよ．

$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{(\sqrt{x^2+x+4}-\sqrt{x^2+4})\sin 2x}{x^2}}$

【６】　数列$\{a_n\}$を次のように定める．

$a_1=1\text{，}{a}_2=4\text{，}{a}_{n+2}=-a_{n+1}+12a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$b_n=a_{n+1}-3a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおく．数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$c_n=a_{n+1}+4a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおく．数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}$を求めよ．

【７】　行列$\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{5}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{4}}\\ a& b\end{array}\right)$で表される$1$次変換を$f$とする．$f$は$3$点$\mathrm{A}(1,m)\text{，}$$\mathrm{B}(0,1)\text{，}$$\mathrm{C}(m,-1)$に対して，次の$2$つの条件$\text{①}\text{，}\text{②}$を満たすものとする．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．

$\text{①}$　$\mathrm{A}$の$f$による像は $\mathrm{A}$自身である

$\text{②}$　$\mathrm{B}$の$f$による像を${\mathrm{B}}^{\prime }$とすると，$\overrightarrow{{\mathrm{BB}}^{\prime }}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は垂直である

(1)　$a\text{，}b\text{，}m$の値を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}(x,y)$を任意の点とし，$\mathrm{P}$の$f$による像を${\mathrm{P}}^{\prime }$とする．$\overrightarrow{{\mathrm{PP}}^{\prime }}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の内積を求めよ．

(3)　点$\mathrm{Q}(t,t^2-1)$の$f$による像を${\mathrm{Q}}^{\prime }$とする．$\left|\overrightarrow{{\mathrm{QQ}}^{\prime }}\right|$の値が最小となる実数$t$の値を求めよ．

【８】　関数$f(x)\text{，}g(x)$を

$f(x)={\displaystyle {\int }_1^x}\log tdt$

$g(x)={\displaystyle {\int }_1^x}t{e}^{t-1}dt$

で定める．ただし，$f(x)$は$x>0$の範囲で考える．

(1)　$f(x)\text{，}g(x)$を求めよ．

(2)　$x>0$のとき，$g(x)>g(-x)$が成り立つことを示せ．

(3)　実数$a\text{，}b$が$0<a<b$と$f(a)=f(b)$を満たすとき，次の(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)が成り立つことを示せ．

(ⅰ)　$a<1<b$

(ⅱ)　$g(\log a)=g(\log b)$

(ⅲ)　$ab<1$

【９】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内に$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$があり，次の条件$\text{①}\text{，}\text{②}\text{，}\text{③}\text{，}\text{④}$を満たすとする．

$\text{①}$　$\mathrm{A}$は$xy$平面上の点で$\mathrm{OA}=1$

$\text{②}$　$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$は$yz$平面上の点で，$y$軸に関して対称である

$\text{③}$　$▵\mathrm{OAB}$は正三角形である

$\text{④}$　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$は$y$軸上にない

(1)　$\mathrm{B}$の$y$座標を$t$とするとき，$t$がとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　四面体$\mathrm{OABC}$の表面積の最大値を求めよ．

(3)　表面積が最大となる四面体$\mathrm{OABC}$を$x$軸，$y$軸，$z$軸の周りに回転してできる立体の体積をそれぞれ$V_x\text{，}{V}_y\text{，}{V}_z$とするとき，$V_x\text{，}{V}_y\text{，}{V}_z$を求めよ．

【10】　$1$から$40$までの番号をつけた$40$枚のカードが$2$組ある．これら$80$枚のカードを袋に入れてよくかき混ぜて，同時に$3$枚を取り出すとき，次の確率を求めよ．

(1)　$3$つの番号がすべて$3$の倍数である確率

(2)　$3$つの番号の積が$3$の倍数である確率

(3)　$3$つの番号の和が$3$の倍数である確率

(4)　$3$つの番号の積が$27$の倍数である確率

志望別問題選択一覧

教育，農，工（環境建設工学科社会デザインコース）学部　【１】，【２】，【３】，【４】

理，工（環境建設工学科社会デザインコース除く）学部　【４】，【５】，【６】，【７】，【８】

医学部　【６】，【７】，【８】，【９】，【10】