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2013-10821-0101
2013 高知大学 前期
数学II・数学B 教育学部
配点は70点
易□ 並□ 難□
【1】 3 次関数 f ⁡(x )= x3-6 ⁢x+3 について,次の問いに答えよ.
(1) y=f⁡ (x ) の増減表を作り, y が極大,極小となるグラフ上の点をそれぞれ, A , B とするとき,それらの点の座標を求めよ.
(2) 線分 AB の中点 C の座標を求め, C が y =f⁡ (x ) のグラフの上にあることを示せ.
(3) y=f⁡ (x ) のグラフは,(2)で求めた点 C に関して点対称であることを示せ.
(4) (2)で求めた点 C を通り傾きが 2 の直線と y =f⁡( x) のグラフで囲まれた部分の面積を求めよ.
2013-10821-0102
配点は60点
【2】 円に内接する四角形 ABCD において, AB=1 , BC=2 , CD=3 , DA=4 とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) AC を求めよ.
(2) sin⁡∠ ABC を求めよ.
(3) A から直線 BC に下ろした垂線 AE の長さを求めよ.
(4) sin⁡∠ ACB を求めよ.
(5) 四角形 ABCD の面積を求めよ.
2013-10821-0103
配点60点
【3】 円 x2+ y2+4 ⁢x+2 ⁢2 ⁢y+3 =0 について,次の問いに答えよ.
(1) この円の中心と半径をそれぞれ求めよ.
(2) この円上の点 ( x,y ) において, x+y のとる値の最大値と最小値を求めよ.
(3) この円上の点で座標がともに有理数となる点をすべて求めよ.
2013-10821-0104
【4】 初項から第 n 項までの和が Sn=2 ⁢n2 -n ( n= 1 ,2 , 3 , ⋯ ) となる数列 { an } について,次の問いに答えよ.
(1) 一般項 a n を求めよ.また, an は等差数列になることを示し,初項 a と公差 d を求めよ.
(2) 和 a2+ a4+ a6+ ⋯+a 2⁢n を求めよ.
(3) 和 ( -1) ⁢a1 +( -1) 2⁢ a2+ ( -1) 3⁢ a3+ ⋯+ (-1 )2 ⁢n⁢ a2⁢ n を求めよ.
(4) ∑i= 12⁢ n (- 1) i+1 Si≦ -5 が,すべての n =1 ,2 , 3 ,⋯ に対して成り立つことを示せ.
2013-10821-0105
数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C 理学部,医学部医学科
配点は100点
【1】 座標平面において,点 ( 0,5 ) を通り,直線 y =x と点 ( a,a ) で接する円 C について,次の問いに答えよ.
(1) 点 ( 0,5 ) と直線 y =x と点 ( a,a ) がかかれているとき,コンパスと目盛りのない定規を用いて,円 C を作図する手順を説明せよ.
(2) 円 C の方程式を求めよ.
(3) 円 C の中心の座標を ( s,t ) とするとき,
x= 22 ⁢( s+t ), y= 2 2⁢ (- s+t )
とおく.このとき, a の値が変化するときの点 ( x,y ) の軌跡を座標平面に図示せよ.
2013-10821-0106
【2】 座標平面において,点 P 0 を原点として,点 P1 , P 2 , P3 , ⋯ を右図のようにとっていく(点線は x 軸と平行).ただし, P n-1 Pn = 12n- 1 ( n≧1 ),0 <θ< π 2 とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) P0 P1 +P 1P 2+⋯+ Pn +1P n+⋯ を求めよ.
(2) Pn の座標を n と θ を用いて表せ.
(3) n を限りなく大きくするとき,点 Pn はどのような点に近づくか,その点の座標を求めよ.
2013-10821-0107
数学I・数学II・数学III・
数学A・数学B・数学C 理学部,医学部医学科
【3】 log10 ⁡3= a とおくとき,次の問いに答えよ.
(1) 320 >109 , 325 <1012 を示せ.
(2) 0.45<a <0.48 を示せ.
(3) 6.54<15 ⁢a-a 2<6.97 を示せ.
(4) 次の 2 つの不等式をともにみたす実数の組 ( x,y ) は存在しないことを示せ.
{ x2 -2⁢( 1+a) ⁢x+y 2-4⁢ (2- a)⁢ y+a2 -2⁢a +8≦0 x2 -6⁢ (2+ a)⁢ x+y2 -2⁢ (3- a)⁢ y+9⁢ a2+ 38⁢a+ 29≦0
2013-10821-0108
【4】 関数 f ⁡(x )= x3⁢ e-9⁢ x と実数 a に対して,次の問いに答えよ.
(1) 導関数 f ′⁡( x) を求めよ.
(2) -1≦ x≦1 の範囲で, f⁡( x)= a をみたす実数 x の個数を求めよ.
(3) - 53⁢ π ≦θ ≦ 53 ⁢ π の範囲で, f⁡( cos⁡θ )=a をみたす実数 θ がちょうど 6 個存在するような a の範囲を求めよ.