2013 高知大学 前期MathJax

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2013 高知大学 前期

数学II・数学B 教育学部

配点は70点

易□ 並□ 難□

【1】  3 次関数 f (x )= x3-6 x+3 について,次の問いに答えよ.

(1)  y=f (x ) の増減表を作り, y が極大,極小となるグラフ上の点をそれぞれ, A B とするとき,それらの点の座標を求めよ.

(2) 線分 AB の中点 C の座標を求め, C y =f (x ) のグラフの上にあることを示せ.

(3)  y=f (x ) のグラフは,(2)で求めた点 C に関して点対称であることを示せ.

(4) (2)で求めた点 C を通り傾きが 2 の直線と y =f( x) のグラフで囲まれた部分の面積を求めよ.

2013 高知大学 前期

数学II・数学B 教育学部

配点は60点

易□ 並□ 難□

【2】 円に内接する四角形 ABCD において, AB=1 BC=2 CD=3 DA=4 とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  AC を求めよ.

(2)  sin ABC を求めよ.

(3)  A から直線 BC に下ろした垂線 AE の長さを求めよ.

(4)  sin ACB を求めよ.

(5) 四角形 ABCD の面積を求めよ.

2013 高知大学 前期

数学II・数学B 教育学部

配点60点

易□ 並□ 難□

【3】 円 x2+ y2+4 x+2 2 y+3 =0 について,次の問いに答えよ.

(1) この円の中心と半径をそれぞれ求めよ.

(2) この円上の点 ( x,y ) において, x+y のとる値の最大値と最小値を求めよ.

(3) この円上の点で座標がともに有理数となる点をすべて求めよ.

2013 高知大学 前期

数学II・数学B 教育学部

配点60点

易□ 並□ 難□

【4】 初項から第 n 項までの和が Sn=2 n2 -n n= 1 2 3 となる数列 { an } について,次の問いに答えよ.

(1) 一般項 a n を求めよ.また, an は等差数列になることを示し,初項 a と公差 d を求めよ.

(2) 和 a2+ a4+ a6+ +a 2n を求めよ.

(3) 和 ( -1) a1 +( -1) 2 a2+ ( -1) 3 a3+ + (-1 )2 n a2 n を求めよ.

(4)  i= 12 n (- 1) i+1 Si -5 が,すべての n =1 2 3 に対して成り立つことを示せ.

2013 高知大学 前期

数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C 理学部,医学部医学科

配点は100点

易□ 並□ 難□

【1】 座標平面において,点 ( 0,5 ) を通り,直線 y =x と点 ( a,a ) で接する円 C について,次の問いに答えよ.

(1) 点 ( 0,5 ) と直線 y =x と点 ( a,a ) がかかれているとき,コンパスと目盛りのない定規を用いて,円 C を作図する手順を説明せよ.

(2) 円 C の方程式を求めよ.

(3) 円 C の中心の座標を ( s,t ) とするとき,

x= 22 ( s+t ) y= 2 2 (- s+t )

とおく.このとき, a の値が変化するときの点 ( x,y ) の軌跡を座標平面に図示せよ.

2013 高知大学 前期

数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C 理学部,医学部医学科

配点は100点

易□ 並□ 難□

2013年高知大前期医学科【2】の図

【2】 座標平面において,点 P 0 を原点として,点 P1 P 2 P3 を右図のようにとっていく(点線は x 軸と平行).ただし, P n-1 Pn = 12n- 1 n1 ),0 <θ< π 2 とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  P0 P1 +P 1P 2++ Pn +1P n+ を求めよ.

(2)  Pn の座標を n θ を用いて表せ.

(3)  n を限りなく大きくするとき,点 Pn はどのような点に近づくか,その点の座標を求めよ.

2013 高知大学 前期

数学I・数学II・数学III・

数学A・数学B・数学C 理学部,医学部医学科

配点は100点

易□ 並□ 難□

【3】  log10 3= a とおくとき,次の問いに答えよ.

(1)  320 >109 325 <1012 を示せ.

(2)  0.45<a <0.48 を示せ.

(3)  6.54<15 a-a 2<6.97 を示せ.

(4) 次の 2 つの不等式をともにみたす実数の組 ( x,y ) は存在しないことを示せ.

{ x2 -2( 1+a) x+y 2-4 (2- a) y+a2 -2a +80 x2 -6 (2+ a) x+y2 -2 (3- a) y+9 a2+ 38a+ 290

2013 高知大学 前期

数学I・数学II・数学III・

数学A・数学B・数学C 理学部,医学部医学科

配点は100点

易□ 並□ 難□

【4】 関数 f (x )= x3 e-9 x と実数 a に対して,次の問いに答えよ.

(1) 導関数 f ( x) を求めよ.

(2)  -1 x1 の範囲で, f( x)= a をみたす実数 x の個数を求めよ.

(3)  - 53 π θ 53 π の範囲で, f( cosθ )=a をみたす実数 θ がちょうど 6 個存在するような a の範囲を求めよ.

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