2013　高知大学　医学科AO入試MathJax

【１】　$x$を$0\leqq x<2\pi$となる実数とし，$f(x)=\sin x+\cos x$とする．このとき，次の設問に答えなさい．

設問１　$x$が整数のとき，$f(x)$が最大となる$x$を求めなさい．

設問２　${(f(x))}^2-1$の最大値と最小値を求めなさい．

設問３　方程式${(f(x))}^4=1$を解きなさい．

設問４　${(f(x))}^2$が整数となるような$x$は全部で何個あるかを求めなさい．

【２】　等しい確率で$1$から$6$までの目が出るサイコロを$2$回ふり，$1$回目に出る目を$a\text{，}2$回目に出る目を$b$とおく．このとき，次の設問に答えなさい．

設問１　$a=2\text{，}b=3$のとき，$a\text{，}b\text{，}5$を$3$辺の長さとする三角形が存在しないことを示しなさい．

設問２　$a\text{，}b\text{，}5$を$3$辺の長さとする三角形が存在する確率を求めなさい．

設問３　$a\text{，}b\text{，}5$を$3$辺の長さとする二等辺三角形が存在する確率を求めなさい．

設問４　$a\text{，}b\text{，}5$を$3$辺の長さとする鋭角三角形が存在する確率を求めなさい．

【３】　多項式$p(x)$に対して次のような条件を考える．

(＊)$\{\begin{array}{l}p(x)\leqq 1\text{が任意の}0\leqq x\leqq 1\text{に対して成り立つ．}\\ p(0)=0\end{array}$

このような条件を満たす$p(x)$について，$I={\displaystyle {\int }_0^1}p(x)dx$とおく．このとき，次の設問に答えなさい．

設問１　条件(＊)を満たす$1$次以下の多項式$p(x)$のうちで，$I$を最大にするものを求め，その最大値$J$を答えなさい．

設問２　条件(＊)を満たす$2$次以下の多項式$p(x)$が，設問１の$J$について，$I>J$を満たすならば，$y=p(x)$のグラフは上に凸であることを示しなさい．

設問３　$c$を$1$以下の実数とする．条件(＊)を満たし，$p(1)=c$であるような$2$次以下の多項式$p(x)$のうちで，$I$を最大にするものを考えると，そのグラフは$0\leqq x\leqq 1$で直線$y=1$と接することを示しなさい．

設問４　条件(＊)を満たす$2$次以下の多項式$p(x)$のうちで，$I$を最大にするものを求め，その最大値を答えなさい．