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2013 福岡教育大学 前期

教育(初等教育数学専修,中等教育数学専攻)学部

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(問1) 実数 x y ( x-2) 2+y 23 を満たすとき, y -7x のとりうる値の範囲を求めよ.

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【1】 次の問いに答えよ.

(問2) 自然数 n について

13 +23 +33 ++ n3= { 12 n( n+1) }2

が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ.

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【1】 次の問いに答えよ.

(問3)  0θ <2π のとき,関数

y=sin 2θ -sin (θ + π2 )

の最大値と最小値を求めよ.また,そのときの θ の値を求めよ.

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【2】  1 枚の硬貨を投げて,表が出ると 2 点入り,裏が出ると - 1 点入るゲームを考える.このゲームをくり返し 6 回行ったときの合計得点を X とする.次の問いに答えよ.

(問1)  X 3 である確率を求めよ.

(問2)  X が負である確率を求めよ.

(問3)  X の期待値を求めよ.

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【3】 次の条件によって定められる数列 { an } がある.

a1 =1 a n= a n-1 (4 n+3 ) an-1 +5 n=2 3 4

 次の問いに答えよ.

(問1)  bn = 1an n=1 2 3 とおくとき,数列 { bn } の漸化式を求めよ.

(問2) (問1)の b n を用いて, cn= bn+ 1- bn n=1 2 3 とおくとき,数列 { cn } の一般項を求めよ.

(問3) 数列 { an } の一般項を求めよ.

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【4】  f( x)= xe -x2 g (x )=e x とする.次の問いに答えよ.

 ただし, e は自然対数の底とする.

(問1)  f( x) の極値を求めよ.

(問2)  k を定数とする. 0x 4 の範囲で f( x)= k の実数解の個数を求めよ.

(問3)  2 つの曲線 y =f( x) y =g( x) で囲まれた部分の面積を求めよ.

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【1】次の問いに答えよ.

(問2)  4 次方程式

x4 +a x3+ 14x 2+16 x+b =0

x =-2 2 重解としてもつとき,定数 a b の値と他の解を求めよ.

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【3】 点 A ( a,0 )

C x 23 +y2 =1

を考える.点 A と楕円 C 上の点 P (u ,v) との距離を d とする.ただし, a は正の定数とする.次の問いに答えよ.

(問1)  d u の式で表せ.

(問2)  d の最小値を求めよ.また,そのときの u の値を求めよ.

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