2013　福岡教育大学　後期初等教育MathJax

2013-10841-0201

2013　福岡教育大学　後期

教育(初等教育数学専修)学部

易□　並□　難□

【１】　次の問いに答えよ．

(問1)　 $0 ≦ θ < 2 π$ のとき，不等式 $\sqrt{3} \cos θ + \sin θ ≦ - \sqrt{2}$ を解け．

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教育(初等教育数学専修)学部

易□　並□　難□

【１】　次の問いに答えよ．

(問2)　次の(ア)，(イ)に答えよ．

(ア)　自然数 $a$ が $3$ で割り切れないとき， $a^{2}$ を $3$ で割ったときの余りを求めよ．

(イ)　自然数 $a ， b ， c ， d$ が $a^{2} + b^{2} + c^{2} = d^{2}$ を満たすとき， $a ， b ， c ， d$ のうち少なくとも $1$ つは $3$ で割り切れることを示せ．

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易□　並□　難□

【１】　次の問いに答えよ．

(問3)　 $4$ 人でじゃんけんを $1$ 回するとき，勝者の人数の期待値を求めよ．

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【２】　次の条件によって定められる数列 ${a_{n}}$ がある．

$a_{1} = 1 ， a_{2} = 2 ， a_{n + 1} = (r + 1) a_{n} - r a_{n - 1} （ n = 2 ， 3 ， 4 ， \dots ）$

　ただし， $0 < r < 1$ とする．次の問いに答えよ．

(問1)　行列 $A = (\begin{matrix} a & b \\ 1 & 0 \end{matrix})$ が $(\begin{matrix} a_{n + 1} \\ a_{n} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} a_{n} \\ a_{n - 1} \end{matrix}) （ n = 2 ， 3 ， 4 ， \dots ）$ を満たすとき， $a ， b$ を求めよ．

(問2)　(問1)で求めた $A$ に対し， $A (\begin{matrix} r \\ 1 \end{matrix}) ， A (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$ を求めよ．

(問3)　 $(\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) = α (\begin{matrix} r \\ 1 \end{matrix}) + β (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$ としたとき， $α ， β$ を求めよ．

(問4)　数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．また， $\lim_{n \to \infty} a_{n}$ を求めよ．

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【３】　 $x$ 軸上の点 $P (t, 0)$ と $y$ 軸上の点 $Q (0, 2)$ について，次の問いに答えよ．

(問1)　線分 $PQ$ の垂直二等分線の方程式を求めよ．

(問2)　点 $P$ が $x$ 軸上を動くとき，線分 $PQ$ の垂直二等分線が通過する領域を求め，図示せよ．

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【４】　 $f (x) = \frac{{(\log x)}^{3}}{x}$ とする．次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とし， $e$ は自然対数の底とする．

(問1)　 $f (x)$ の極値を求めよ．

(問2)　曲線 $y = f (x)$ について，点 $(e^{- 1}, f (e^{- 1}))$ における接線の方程式を求めよ．

(問3)　(問2)で求めた接線と曲線 $y = f (x)$ と直線 $x = e$ で囲まれた部分の面積を求めよ．