2013　九州大学　前期MathJax

【１】　一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{OABC}$を底面とし，$\mathrm{OP}=\mathrm{AP}=\mathrm{BP}=\mathrm{CP}$をみたす点$\mathrm{P}$を頂点とする四角錐$\mathrm{POABC}$がある．辺$\mathrm{AP}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{CP}$の中点を$\mathrm{E}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を用いて表せ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$t$を用いて表せ．

(3)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の値を求めよ．

(4)　直線$\mathrm{PQ}$が平面$\mathrm{ODE}$に垂直であるとき，$t$の値および線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．

【２】　座標平面上で，次の連立不等式の表す領域を$D$とする．

$x+2y\leqq 5\text{，}3x+y\leqq 8\text{，}-2x-y\leqq 4\text{，}-x-4y\leqq 7$

点$\mathrm{P}(x,y)$が領域$D$内を動くとき，$x+y$の値が最大となる点を$\mathrm{Q}$とし，最小となる点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{Q}$および点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(2)　$a>0$かつ$b>0$とする．点$\mathrm{P}(x,y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+by$が点$\mathrm{Q}$でのみ最大値をとり，点$\mathrm{R}$でのみ最小値をとるとする．このとき，${\displaystyle \frac{a}{b}}$の値の範囲を求めよ．

【３】　横一列に並んだ$6$枚の硬貨に対して，以下の操作$\mathrm{L}$と操作$\mathrm{R}$を考える．

$\mathrm{L}$：さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ左端から順に硬貨の表と裏を反転する．

$\mathrm{R}$：さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ右端から順に硬貨の表と裏を反転する．

たとえば，表表裏表裏表　と並んだ状態で操作$\mathrm{L}$を行うときに，$3$の目が出た場合は，裏裏表表裏表　となる．

以下，「最初の状態」とは硬貨が$6$枚とも表であることとする．

(1)　最初の状態から操作$\mathrm{L}$を$2$回続けて行うとき，表が$1$枚となる確率を求めよ．

(2)　最初の状態から$\mathrm{L}\text{，}\mathrm{R}$の順に操作を行うとき，表の枚数の期待値を求めよ．

(3)　最初の状態から$\mathrm{L}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{L}$の順に操作を行うとき，すべての硬貨が表となる確率を求めよ．

【４】　座標平面上の円${(x-1)}^2+{(y-1)}^2=2$を$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　直線$y=x-2$は円$C$に接することを示せ．また，接点の座標も求めよ．

(2)　円$C$と放物線$y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2-1$の共有点の座標をすべて求めよ．

(3)　不等式$y\geqq {\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2-1$の表す領域を$D$とする．また，不等式$|x|+|y|\leqq 2$の表す領域を$A$とし，不等式${(|x|-1)}^2+{(y-1)}^2\leqq 2$の表す領域を$B$とする．そして，和集合$A\cup B\text{，}$すなわち領域$A$と領域$B$をあわせた領域を$E$とする．このとき，領域$D$と領域$E$の共通部分$D\cap E$を図示し，さらに，その面積を求めよ．

【１】　$a>1$とし，$2$つの曲線

$y=\sqrt{x}\text{（}x\geqq 0\text{），}$

$y={\displaystyle \frac{a^3}{x}}\text{（}x>0\text{）}$

を順に$C_1\text{，}{C}_2$とする．また，$C_1$と$C_2$の交点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線を$l_1$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　曲線$C_1$と$y$軸および直線$l_1$で囲まれた部分の面積を$a$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線と直線$l_1$のなす角を$\theta (a)$とする$(0<\theta (a)<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$．このとき，$\underset{a\to \infty }{\lim }a\sin \theta (a)$を求めよ．

【２】　一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{OABC}$を底面とし，点$\mathrm{P}$を頂点とする四角錐$\mathrm{POABC}$がある．ただし，点$\mathrm{P}$は内積に関する条件$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}$および$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$をみたす．辺$\mathrm{AP}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$とし，辺$\mathrm{CP}$の中点を$\mathrm{N}$とする．さらに，点$\mathrm{P}$と直線$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{Q}$を通る直線$\mathrm{PQ}$は，平面$\mathrm{OMN}$に垂直であるとする．このとき，長さの比$\mathrm{BQ}:\mathrm{QC}\text{，}$および線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．

【４】　原点$\mathrm{O}$を中心とし，点$\mathrm{A}(0,1)$を通る円を$S$とする．点$\mathrm{B}({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$で円$S$に内接する円$T$が，点$\mathrm{C}$で$y$軸に接しているとき，以下の問いに答えよ．

(1)　円$T$の中心$\mathrm{D}$の座標と半径を求めよ．

(2)　点$\mathrm{D}$を通り$x$軸に平行な直線を$l$とする．円$S$の短い方の弧$\stackrel{⏜}{\mathrm{AB}}\text{，}$円$T$の短い方の弧$\stackrel{⏜}{\mathrm{BC}}\text{，}$および線分$\mathrm{AC}$で囲まれた図形を$l$のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【５】　実数$x\text{，}y\text{，}t$に対して，行列

$A=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ -t-x& -x\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ -6& -5\end{array}\right)$

を考える．${(AB)}^2$が対角行列，すなわち$\left(\begin{array}{cc}\alpha & 0\\ 0& \beta \end{array}\right)$の形の行列であるとする．

(1)　命題「$3x-3y-2t\ne 0⟹A=tB$」を証明せよ．

以下(2)，(3)，(4)では，さらに$A^2\ne E$かつ$A^4=E$であるとする。ただし，$E$は単位行列を表す．

(2)　$3x-3y-2t=0$を示せ．

(3)　$x$と$y$をそれぞれ$t$の式で表せ．

(4)　$x\text{，}y\text{，}t$が整数のとき，行列$A$を求めよ．