2013　九州大学　後期MathJax

【１】　$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間内の点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の座標をそれぞれ$(0,1,0)\text{，}\mathrm{(}0,-2,0)\text{，}({\displaystyle \frac{3}{2}}\sqrt{3},-{\displaystyle \frac{1}{2}},0)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$が正四面体の頂点となるとき，点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．ただし，点$\mathrm{D}$の$z$座標は正とする．

(2)　(1)で定めた点$\mathrm{D}$に対して，線分$\mathrm{CD}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$線分$\mathrm{AD}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．このとき，三角形$\mathrm{OEF}$の面積を求めよ．

(3)　(2)で定めた点$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$に対して，点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$を通る平面が，点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$以外で正四面体$\mathrm{ABCD}$の辺と交わる点の座標を求めよ．

【２】　原点を出発し，数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある．このとき，次の試行$\mathrm{T}$を考える．

（試行$\mathrm{T}$）$\mathrm{P}$は，$1$枚の硬貨を投げて表が出たら正の向きに$1$だけ移動し，裏が出たら負の向きに$1$だけ移動する．移動後に，$\mathrm{P}$が原点にあるとき，あるいは原点からの距離が$3\text{，}6\text{，}9$の位置にあるときには，白玉を$1$個もらう．

この試行$\mathrm{T}$を$10$回繰り返すとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$10$回目の試行で初めて白玉をもらう確率を求めよ．

(2)　$2$回目の試行で初めて白玉をもらい，かつ，その後は白玉をもらわない確率を求めよ．

(3)　もらう白玉の総数が$1$個である確率を求めよ．

(4)　もらう白玉の総数が$2$個である確率を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を次式により定める．

$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ b_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}{a}_{n+1}\\ b_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 2& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　すべての$n$に対して，$xy$平面上の点$(a_n,b_n)$が双曲線$x^2-2y^2=4$の上にあることを証明せよ．

(2)　$r\text{，}s\text{，}t$は正の実数とし，行列$A=\left(\begin{array}{cc}r& -r\\ 1& 1\end{array}\right)$が次の関係式を満たすとする．

$A^{-1}\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 2& 3\end{array}\right)A=\left(\begin{array}{cc}s& 0\\ 0& t\end{array}\right)$

このとき，$r\text{，}s\text{，}t$を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$の一般項を求めよ．

【４】　$\alpha$を$0\leqq \alpha \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす実数とし，数列$\{{\theta }_n\}$を次式により定める．

${\theta }_1=0\text{，}{\theta }_{n+1}=\{\begin{array}{ll}{\theta }_n+\alpha & (\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{のとき})\\ {\theta }_n-\alpha & ({\theta }_n>{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{のとき})\end{array}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

さらに数列$\{x_n\}$を次式により定める．

$x_1=0\text{，}{x}_{n+1}=x_n+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n+1}\sin {\theta }_{n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$x_3$が最大となる$\alpha$を求めよ．

(2)　$\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$を求めよ．

(3)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$が最大となる$\alpha$と，その極限値を求めよ．

【５】　$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上の曲線$y=e^{-x}|\sin x|\text{（}x\geqq 0\text{）}$を$C$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し，$(n-1)\pi \leqq x\leqq n\pi$の範囲で$y$が最大となる曲線$C$上の点を${\mathrm{P}}_n$とする．このとき，点${\mathrm{P}}_n$の座標を求めよ．

(2)　点${\mathrm{P}}_n$から$x$軸に下ろした垂線を${\mathrm{P}}_n{\mathrm{H}}_n$とし，三角形$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n{\mathrm{H}}_n$の面積を$S_n$とするとき，無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n$の和を求めよ．

(3)　曲線$C$と線分$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．