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2013 九州工業大学 前期

工学部

配点100点

易□ 並□ 難□

【1】 頂点が O で,各辺の長さが 1 である正四角 すい O ABCD がある.辺 OA CO t :1-t 0 <k< 1 に内分する点をそれぞれ P Q とし,辺 OD k :1-k 0<k< 1 に内分する点を R とする.また, a =OA b =OB c =OC とおく.次に答えよ.

(ⅰ)  OD a b c を用いて表せ.また,内積 a c の値を求めよ.

(ⅱ) 内積 BR PQ k t を用いて表せ.

(ⅲ) 点 R 3 P B Q の定める平面上にあるとする.

(a)  k t を用いて表せ.

(b)  t の値が変化するとき, k の最大値を求めよ.また, k が最大値をとるときの四角形 PBQR の面積 S を求めよ.

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工学部

配点100点

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【2】  a b を実数とし,行列 A 2 次の正方行列とする. x y についての連立 1 次方程式を,行列を用いて

A( x y )=( a b ) (*)

と表す.次に答えよ.

(ⅰ)  A=( 3 26 4 ) のとき,連立 1 次方程式(*)を解け.

(ⅱ)  c を実数とし, a0 b0 とする.また, A=( a bc 1 ) とする.

(a)  ab c とする.連立 1 次方程式(*)がただ 1 つの解をもつことを示せ.また,連立 1 次方程式 A2 ( xy ) =( a b ) もただ 1 つの解をもつことを示せ.

(b) 連立 1 次方程式(*)が解をもたないための必要十分条件を a b c を用いて表せ.この条件が成り立つとき,連立 1 次方程式 A 2( x y )=( a b ) も解をもたないことを示せ.

(c) 連立 1 次方程式(*)が解を無数にもつための必要十分条件を a b c を用いて表せ.この条件が成り立つとき,自然数 m に対して,連立 1 次方程式

(A+ A2+ A3+ +A 2m- 1) ( xy )= ( ab )

も解を無数にもつことを示せ.

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工学部

配点100点

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【3】 関数 f (x )=log x がある.曲線 y =f( x) の点 ( t,log t) における接線の方程式を y =g( x) とするとき,次の答えよ.ただし,対数は自然対数を表し, e は自然対数の底とする.

(ⅰ)  x>0 のとき,不等式 f (x )-g (x )0 を証明せよ.

(ⅱ)  t> 12 のとき, t-1 2t +12 f (x )d x t- 12 t+1 2 g( x) dx をそれぞれ t を用いて表せ.

(ⅲ) 自然数 n に対して, n! 2 (n+ 12 ) n+1 2 e-n の大小を比較せよ.

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工学部

配点100点

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【4】 曲線 C1: x 24 +y2 =1 x0 と曲線 C2: x2+ y2= 1 x0 がある.曲線 C 1 の点 P ( s,t ) s>0 t> 0 における法線を l とする.次に答えよ.

(ⅰ)  s t を用いて表せ.また,直線 l の方程式を t を用いて表せ.

(ⅱ) 直線 l が曲線 C 2 に接するときの点 P の座標および接点 Q の座標を求めよ.

(ⅲ)  P Q は(ⅱ)で求めた点とし,点 ( 0,1 ) R とする.曲線 C1 PQ および線分 PQ で囲まれた図形を y 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積 V を求めよ.

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情報工学部

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【1】  -π 2x π 2 の範囲において,曲線 C 1:y= sin2 x と曲線 C 2:y= cosx の交点の x 座標を a b c a<b< c とする.以下の問いに答えよ.

(ⅰ)  a b c の値を求めよ.

(ⅱ) 交点 ( b,sin 2b ) における 2 つの曲線 C 1 C 2 のそれぞれの接線は垂直ではないことを示せ.

(ⅲ)  ax b の範囲で 2 つの曲線 C1 C2 によって囲まれた部分の面積を S 1 とし, bx c の範囲で 2 つの曲線 C1 C2 によって囲まれた部分の面積を S 2 とするとき, 2 つの面積の比 S1: S2 を求めよ.

(ⅳ) 曲線 C 1 - π2 x π2 の部分と x 軸で囲まれた部分を, x 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積 V を求めよ.

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情報工学部

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【2】 関数 f (x )=log ( x2- x+2 ) 0x 1 に対して,以下の問いに答えよ.ただし,対数は自然対数を表している.

(ⅰ)  y=f (x) 0x 1 の極値を求めよ.

(ⅱ)  x についての方程式 log ( x2-x +2) =x 12< x<1 の範囲に実数解をただ 1 つもつことを示せ.必要であれば, log2 <0.7 log 7>1.9 であることを用いてよい.

(ⅲ)  y=f (x ) 0x 1 の最大値と最小値を求めよ.

(ⅳ) 平均値の定理を用いることで, 0a< b1 となる実数 a b に対して, | f( b)- f( a) |< 12 | b-a | となることを示せ.

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情報工学部

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【3】 行列 A =( 34 16 ) について,以下の問いに答えよ.

(ⅰ) 連立 1 次方程式 { 3x +4y =kx x+6 y=k y x =y=0 以外の解をもつような実数 k の値を 2 つ求めよ.

(ⅱ) (ⅰ)で求めた k の値を a b a<b とし,

B=( a0 0b )

とする.実数 s t に対し,行列

P=( s t1 1 )

A P=P B を満たすとき,実数 s t の値を求めよ.

(ⅲ) (ⅱ)で定めた行列 B について, Bn (ただし, n は自然数)を推測し,その推測が正しいことを数学的帰納法で証明せよ.

(ⅳ)  An を求めよ.ただし, n は自然数とする.

2013 九州工業大学 前期

情報工学部

易□ 並□ 難□

2013年九州工業大前期情報工学部【4】の図
2013年九州工業大前期情報工学部【4】の図

【4】 右図のような,縦方向に 5 行,横方向に 5 列の合計 25 個のマス目から,異なる 5 個のマス目を選んでマス目に○をつける.以下の問いに答えよ.

(ⅰ) すべての列に○がついているようなマス目の選び方の総数を求めよ.

(ⅱ) すべての行と列に○がついているようなマス目の選び方の総数を求めよ.

(ⅲ) ○のついている列が 2 列,○のついていない列が 3 列になるようなマス目の選び方の総数を求めよ.

(ⅳ) 右図のように,右上のマス目が選ばれて○がついており,かつ,×がついた対角線上のマス目を選んで○をつけることができないものとする.このとき,すべての行と列に○がついているようなマス目の選び方の総数を求めよ.



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