2013　九州工業大学　後期MathJax

$\{\begin{array}{l}\text{共有点が}2\text{個のとき，}L\text{を}2\text{つの共有点間の距離の}2\text{乗とする}\\ \text{それ以外のとき，}L=0\text{とする}\end{array}$

次に答えよ．

(ⅰ)　$a=4\text{，}b=4$のとき，$L$を求めよ．

(ⅱ)　直線$l$と曲線$C$の共有点が$2$個である確率$P_2\text{，}$共有点が$1$個である確率$P_1\text{，}$共有点がない確率$P_0$をそれぞれ求めよ．

(ⅲ)　直線$l$と曲線$C$の共有点が$2$個のとき，$L$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(ⅳ)　$L$の期待値$E$を求めよ．

$a_1=b_1=1\text{，}{a}_{n+1}=1+{\displaystyle \frac{1}{b_n}}\text{，}{b}_{n+1}={\displaystyle \frac{2}{a_n+2}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．次に答えよ．

(ⅰ)　$a_2\text{，}{b}_2\text{，}{a}_3\text{，}{b}_3$の値を定めよ．

(ⅱ)　すべての自然数$n$に対して$a_{n+2}-p=q(a_n-p)$が成り立つ定数$p\text{，}q$を求めよ．

(ⅲ)　自然数$m$に対して，$a_{2m-1}\text{，}{a}_{2m}\text{，}{b}_{2m-1}\text{，}{b}_{2m}$を求めよ．

(ⅳ)　自然数$m$に対して，${\displaystyle \sum _{k=1}^{2m}}{(-1)}^k{\displaystyle \frac{a_k}{b_k}}$を求めよ．

(ⅰ)　$V$と$S$を$a$と$\theta$を用いて表せ．

(ⅱ)　側面積$S$が一定値$S_0>0$を保つように$a$と$\theta$が変化する．このとき，$V$を$S_0$と$\theta$を用いて表せ．また，$V^2$の最大値を$S_0$を用いて表し，最大値をとるときの$\sin \theta$の値を求めよ．

(ⅲ)　体積$V$が一定値$V_0>0$を保つように$a$と$\theta$が変化する．このとき，$S$を$V_0$と$\theta$を用いて表せ．また，$S$の最小値を$V_0$を用いて表し，最小値をとるときの$\sin \theta$の値を求めよ．

(ⅰ)　不定積分${\displaystyle \int }x{e}^{-x}dx$を求めよ．

(ⅱ)　関数$f(x)=|1-x|e^{-x}\text{（}0\leqq x\leqq 2\text{）}$について，増減および凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

(ⅲ)　自然数$n$に対して，$I_n={\displaystyle {\int }_{2n-2}^{2n}}|2n-1-x|e^{-x}dx$とおく．$I_n$を求めよ．

(ⅳ)　$I_n$は(ⅲ)で求めたものとする．自然数$n$に対して，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{I}_k$とおく．$S_n$を求めよ．また，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

(ⅰ)　曲線$C$上の点$(t,e^{-x^3})$における接線の方程式を求めよ．

(ⅱ)　(ⅰ)で求めた接線が点$(a,0)$を通るとき，$a$と$t$の関係式を求めよ．

(ⅲ)　$x$軸上の点$(a,0)\text{（}a>0\text{）}$から曲線$C$に接線を引くとき，何本かの接線を引くことができる．このとき，それぞれの接線における接点の個数を合計すると$3$になるような$a$の値の範囲を求めよ．

(ⅰ)　直線$l$上にない座標平面上の点$\mathrm{P}(a,b)$に対して，点$\mathrm{P}$から直線$l$に垂線を下ろしたときの交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$a$と$b$を用いて表せ．

(ⅱ)　(ⅰ)において，点$\mathrm{Q}$の座標が$(0,1)$となるときの$a$と$b$の関係式を求めよ．

(ⅲ)　放物線$C$上に点$\mathrm{R}(c,d)\text{（}c\geqq 0\text{，}d\geqq 0\text{）}$をとる．$2$点$\mathrm{A}(0,1)\text{，}\mathrm{B}(1,0)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$上の点のうち，点$\mathrm{R}$との距離が最小となる点を$\mathrm{S}$とする．このとき，点$\mathrm{S}$の座標を$c$を用いて表せ．また，このときの点$\mathrm{R}$と点$\mathrm{S}$との距離を$c$を用いて表せ．

(ⅳ)　放物線$C$と線分$\mathrm{AB}\text{，}y$軸で囲まれた図形を，$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$を用いて表せ．

(ⅱ)　移動$f$が$\angle {\mathrm{E}}_1\mathrm{O}{\mathrm{E}}_2=\angle \mathrm{POQ}\text{，}$$\angle {\mathrm{E}}_1\mathrm{O}{\mathrm{E}}_3=\angle \mathrm{POR}$を満たすとき，$\left|\overrightarrow{p}\right|=\left|\overrightarrow{q}\right|\text{，}$$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}=0$となることを示せ．

(ⅲ)　移動$f$が(ⅱ)の条件を満たすとき，行列$A$は次の行列$B\text{，}$$C$のいずれかであることを示せ．ただし，$r=\left|\overrightarrow{p}\right|=\left|\overrightarrow{q}\right|$とし，$\theta =\angle {\mathrm{E}}_1\mathrm{OP}$と定める．

$B=r\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\text{，}C=r\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right)$

(ⅰ)　$n$回さいころを振って，出た目の数の最大値を$X$とする．以下の問いに答えよ．

(a)　$X=1$となる確率を$n$を用いて表せ．

(b)　$X\leqq k$となる確率を$n$と$k$を用いて表せ．

(c)　$X=k$となる確率を$n$と$k$を用いて表せ．

(ⅱ)　最大$n$回さいころを振るものとし，$k+1$以上の目が出た場合は，$n$回まで達していなくてもそれ以降はさいころを振らないものとする．出た目の数の最大値を$Y$とするとき，$Y=k+1$となる確率を$n$と$k$を用いて表せ．