2013　佐賀大学　前期MathJax

【１】　次の問に答えよ．

(1)　$a+{\displaystyle \frac{1}{a}}=b+{\displaystyle \frac{1}{b}}$が成り立つとき，$a$を$b$を用いて表せ．

(2)　$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{y}{8}}+{\displaystyle \frac{8}{y}}={\displaystyle \frac{x}{y}}+{\displaystyle \frac{y}{x}}$をみたす実数$x\text{，}y$の組をすべて求めよ．

【２】　さいころを$4$回振って出た目を順に$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$とし，

$N=1000a+100b+10c+d\text{，}N=1000d+100c+10b+a$

と定める．このとき，次の問に答えよ．ただし，$n$の倍数は，$0\text{，}\pm n\text{，}\pm 2n\text{，}\cdots$であるとする．

(1)　$N-M$は$9$の倍数であることを示せ．

(2)　$N-M$が$18$の倍数となる確率を求めよ．

(3)　$N-M$が$37$の倍数となる確率を求めよ．

【３】　「$n\leqq \sqrt{11}<n+1$が成り立つような整数$n$を見つけよ．」という問題に対して以下の答案があった．この答案の趣旨を詳しく説明せよ．

[答案]

まず，${\sqrt{11}}^2=11$から奇数を小さい順に引いていく．つまり，

$11-1=10\text{，}10-3=7\text{，}7-5=2$

となり，これ以上引くと負の数になるからここで計算を止める．結局，奇数を$3$回引いたので，$n=3$となる．

【４】　点$(0,a)$を中心とする半径$r$の円$C$と放物線$F\text{：}y=x^2$を考える．ただし，$a>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　円$C$と放物線$F$が点$(b,b^2)$で同じ接線を持つとする．ただし，$b>0$とする．このとき，$C$の中心と点$(b,b^2)$を結ぶ直線の傾きを$b$を用いて表せ．また，$r$を$b$を用いて表せ．

(2)　(1)において$r=1$とする．このとき，$C$と$F$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(3)　$C$と$F$の共有点が原点のみであるための$r$の条件を求めよ．

【１】　一辺の長さが$2$の正三角形$\mathrm{OAB}$において，線分$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{OB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．

(4)　線分$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{C}$とし，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{PQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

【２】　$a_n={\displaystyle \frac{1}{2^n}}\tan {\displaystyle \frac{1}{2^n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，等式${\displaystyle \frac{1}{2}}\tan \theta ={\displaystyle \frac{1}{2\tan \theta }}-{\displaystyle \frac{1}{\tan 2\theta }}$を示せ．

(2)　(1)を用いて，和${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{a}_k$を求めよ．

(3)　無限級数${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{a}_k$の和を求めよ．

【３】　定数$a\text{，}b$と自然対数の底$e$に対して，$f(x)=(ax+b)e^{-x}$とおく．曲線$y=f(x)$は点$(0,2)$を通り，その点における接線の傾きは$2$であるとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　関数$f(x)$の極値を求めよ．

(3)　$0\leqq x\leqq 1$の範囲において，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【４】　$\alpha >1$とする．曲線$C\text{：}y=x^{\alpha }\text{（}x>0\text{）}$上の点$\mathrm{P}(p,p^{\alpha })$における$C$の接線と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とし，$x$軸上の点$\mathrm{R}$を$\mathrm{PR}=\mathrm{PQ}$をみたすようにとる．ただし，点$\mathrm{R}$の$x$座標は点$\mathrm{P}$の$x$座標より小さいものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{Q}$の$y$座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{R}$の$x$座標を求めよ．

(3)　$x$軸と直線$\mathrm{RP}$のなす鋭角を$\theta$とするとき，$\underset{p\to \infty }{\lim }\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$をみたす$\alpha$の値を求めよ．

【３】　$x$軸，$y$軸，$z$軸を座標軸，原点を$\mathrm{O}$とする座標空間において，$z$軸を中心軸とする半径$1$の円柱を考える．次に，$x$軸を含み$xy$平面とのなす角が${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$となる平面を$\alpha$とし，平面$\alpha$による円柱の切り口の曲線を$C$とする．また，点$\mathrm{A}(1,0,0)$とする．さらに，曲線$C$上の点$\mathrm{P}$から$xy$平面に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とし，$\angle \mathrm{APQ}=\theta \text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{A}$を通り$z$軸に平行な直線を$l$とする．$l$によって円柱の側面を切り開いた展開図の上に，曲線$C$の概形をかけ．

(3)　図のように，平面$\alpha$と$yz$平面の交線を$Y$軸とする．$xY$平面における曲線$C$の方程式を求め，その概形をかけ．

【４】　関数$f(x)=x{e}^{-2x}$に関して次の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)　曲線$y=f(x)$の概形をかけ．必要ならば，$\underset{x\to \infty }{\lim }x{e}^{-2x}=0$を使ってよい．

(2)　曲線$y=f(x)$の接線のうちで傾きが最小となるものを$l$とする．その接線$l$の方程式と接点$(a,f(a))$を求めよ．

(3)　$x<a$において，接線$l$は曲線$y=f(x)$より常に上側にあることを証明せよ．ただし，$a$は(2)で求めたものとする．

(4)　曲線$y=f(x)\text{，}$接線$l\text{，}$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【３】　$0\mathrm{°}\leqq \alpha \leqq 90\mathrm{°}\text{，}0\mathrm{°}\leqq \beta \leqq 90\mathrm{°}$について，$\sin \alpha =2{\sin }^2\beta$が成り立つものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\cos 2\beta$を$\sin \beta$を用いて表せ．また，$\cos 4\beta$を$\sin \beta$を用いて表せ．

(2)　$\alpha +2\beta =90\mathrm{°}$のとき，$\sin \alpha$の値を求めよ．

(3)　$\alpha +4\beta =90\mathrm{°}$のとき，$\sin \alpha$の値を求めよ．