2013　佐賀大学　後期MathJax

【１】　$n$個のさいころを同時に投げる．このとき，次の問に答えよ．

(1)　出た目の数の最大公約数が$5$になる確率を求めよ．

(2)　出た目の数の最大公約数が$3$になる確率を求めよ．

(3)　出た目の数の最大公約数が$1$になる確率を求めよ．

【２】　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}|t-2|dt\text{（}x\geqq 0\text{）}$について，次の問に答えよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　曲線$y=f(x)$と直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+1$の交点をすべて求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+1$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【３】　関数$f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax+b$を考える．ただし，$a\text{，}b$は実数とし，$0<a<1$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　関数$f(x)$の極値を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつための$a\text{，}b$に関する必要十分条件を求めよ．

(3)　$ab$平面上で，(2)で求めた条件をみたす点$(a,b)$からなる領域の面積$S$を求めよ．

【４】　行列$A={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}\sqrt{2}& \sqrt{2}\\ -\sqrt{2}& \sqrt{2}\end{array}\right)$の表す平面上の$1$次変換を$f$とし，平面上の点$\mathrm{P}$の$f$による像を$f(\mathrm{P})$とする．点$\mathrm{P}$が曲線$y=e^{2x}$上を動くとき，点$f(\mathrm{P})$が描く曲線を$C$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　曲線$C$は，曲線$y=e^{2x}$を原点を中心とした角度$\theta$の回転で得られる．このとき，$\theta$の値を求めよ．

(2)　曲線$C$上の点$f(\mathrm{P})$の$y$座標が最小値をとるとき，$\mathrm{P}$および$f(\mathrm{P})$の座標を求めよ．

(3)　曲線$C$および$3$直線$y=x\text{，}y=-x\text{，}x={\displaystyle \frac{\sqrt{2}(2-e)}{4e}}$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【１】　$n$個のさいころを同時に投げる．このとき，次の問に答えよ．

(1)　出た目の数の最大公約数が$5$になる確率を求めよ．

(2)　出た目の数の最大公約数が$3$になる確率を求めよ．

(3)　出た目の数の最大公約数が偶数になる確率を求めよ．

(4)　出た目の数の最大公約数が$1$になる確率を求めよ．

【２】　正四面体$\mathrm{OABC}$の一辺の長さを$1$とする．$▵\mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{D}\text{，}$$▵\mathrm{OBC}$の重心を$\mathrm{E}\text{，}$$▵\mathrm{OCA}$の重心を$\mathrm{F}\text{，}▵\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．このとき四面体$\mathrm{DEFG}$は正四面体になる．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．また，その大きさ$\left|\overrightarrow{\mathrm{OG}}\right|$を求めよ．

(2)　正四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V_1$を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{DG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．また，その大きさ$\left|\overrightarrow{\mathrm{DG}}\right|$を求めよ．

(4)　正四面体$\mathrm{DEFG}$の体積$V_2$を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を次の式で定義する．

$a_1={\displaystyle \frac{3}{4}}\text{，}{a}_{n+1}=a_n\{1-{\displaystyle \frac{1}{{(n+2)}^2}}\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，次の問に答えよ．

(1)　$a_1-{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{a}_2-{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{a}_3-{\displaystyle \frac{1}{2}}$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　一般項$a_n$を予想し，それが正しいことを数学的帰納法により証明せよ．