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2013 長崎大学 前期

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【1】 円 C1 x2- 4x+ y2= 0 と直線 l y= 3 3 x がある.次の問に答えよ.

(1) 円 C 1 と直線 l の交点のうち,原点 O と異なるものを A とする.点 A の座標を求めよ,さらに,原点 O を頂点とし,点 A を通る放物線 C 2 の方程式を y =ax 2 とする. a の値を求めよ.

(2) 直線 l の傾きを tan θ と表す.そのときの θ の値を求めよ.ただし, - π2< θ< π2 とする.

(3) 円 C 1 と直線 l で囲まれた図形のうち,直線 l の上側にある部分の面積 S 1 を求めよ.

(4) 円 C 1 と放物線 C 2 で囲まれた図形のうち,放物線 C 2 の上側にある部分の面積 S 2 を求めよ,

(5) 放物線 C 2 の接線で,直線 l とのなす角が π4 であるものを考える.そのすべてについて,接点の x 座標を求めよ.

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【2】 次の問いに答えよ.

(1)  a1 = 32 an +1+ 2a n+1 an- 3a n=0 n1 で与えられる数列 { an } について, a2 a 3 a 4 a5 の値を求めよ.また,一般項 a n を推測し,その推測の結果を数学的帰納法で証明せよ.

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【2】 次の問いに答えよ.

(2)  7 12 π= π 3+ π4 であることを利用して sin 712 π を求め, 1x 4 のとき,次の方程式を解け.

sinx = 6+ 24

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【2】 次の問いに答えよ.

(3)  0x < π2 とする.このとき, X=log 2cos x の範囲を求め,次の不等式を解け.

2 ( log2 cosx )2 +( 4-log 23 ) log2 cos x+2- log2 3 0

注意: log2 cos x log2 (cos x) を表す.

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【3】  n 2 以上の整数とする. n 個の実数 a1 a 2 an が与えられたとき,

Pn= ( a1+ a2+ +an ) 2 Q n= a12 +a2 2+ +an 2

とおく.次に, 1i <jn を満たすすべての番号 i j に対する ai aj の和を R n とする.たとえば,

R2= a1 a2 R3= a1 a2+ a1 a3+ a2 a3

である.

 同様に 1 i<j n を満たすすべての番号 i j に対する ( ai- aj )2 の和を S n とする.たとえば,

S2 =( a1- a2 )2 S 3= (a1 -a2 )2 +( a1- a3) 2+ (a2 -a3 )2

である.次の問いに答えよ.

(1)  P4 Q 4 R 4 を使って表せ.

(2) すべての n 2 に対して Sn=( n-1) Qn -2 Rn と表されることを,数学的帰納法で証明せよ.

(3)  Q4 P 4 S 4 を使って表せ.

(4)  a1 +a2 +a3 +a4 =1 のとき, Q4 の最小値と,そのときの a1 a 2 a 3 a4 の値をそれぞれ求めよ.

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2013年長崎大前期【4】2013108810106の図

【4】 右図のような四面体 OABC がある.各面 ABC OBC OCA OAB の重心を,それぞれ P Q R S とし,辺 BC の中点を M とする.また,

OA =a OB =b OC =c

OM =m

とおく.次の問いに答えよ.

(1)  OQ m を用いて表せ.また, OP a m を用いて表せ.

(2) 線分 OP と線分 AQ の交点を G とする.線分 OP 上の点 U は,実数 s を用いて

OU =s OP 0s 1

と表され,線分 AQ 上の点 V は,実数 t を用いて

OV =( 1-t) OA +t OQ 0t 1

と表される.このことを利用して, OG a m を用いて表せ.

(3)  a b c を用いて OG を表せ.

(4)  a b c の中から必要なものを用いて, OR および OS をそれぞれ表せ.また,点 G が線分 BR および線分 CS 上にあることを示せ.



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【5】 曲線 C y= ex 上の点 P ( t,et ) における接線を l とする.次の問いに答えよ.

(1) 接線 l の方程式を求めよ,

(2) 接線 l x 軸の交点,接線 l y 軸の交点の座標をそれぞれ求めよ.

(3) 曲線 C 接線 l y 軸および直線 x =1 で囲まれた図形の面積 S (t ) を求めよ.

(4)  0t 1 とする.このとき, S( t) の最大値およびそのときの t の値, S( t) の最小値およびそのときの t の値をそれぞれ求めよ.

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【6】 次の問いに答えよ.

(1) 関数

y=-x +2-1 -x2 -1x 1

の増減およびグラフの凹凸を調べよ.また, y の最大値およびそのときの x の値, y の最小値およびそのときの x の値をそれぞれ求めよ.

(2)  2 つの曲線

y=-x +2- 1-x2 -1x 1

y=-x +2+ 1-x2 -1x 1

によって囲まれた図形 D を答案用紙の座標平面上に描け.なお, D の境界が座標軸との共有点をもつならば,その座標も記入せよ.

(3) 上の図形 D x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を求めよ.

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2013年長崎大前期【7】2013108810109の図 2013年長崎大前期【7】2013108810109の図

図1

図2

【7】 半径 1 の円と長さ 2 の線分がある.この線分の一方の端点を,円の中心に合わせて円上に固定した図形を考える.線分の端点で,円の中心とは異なるものを P とする.

 この図形を右の図1のように x y 平面上に置く.すなわち,中心が点 ( 0,1 ) P が点 ( 0,-1 ) と一致するように置く.

次に, x 軸上で正の方向に,すべらないように円を半回転させる.上の図2は円が θ だけ回転したときの状態を表している.

  0θ π の範囲で,点 P が描く曲線 C について考察する.次の問いに答えよ.

(1) 図2における点 P x 座標と y 座標を,それぞれ θ を用いて表せ.

(2) 曲線 C 上にあって, x 座標が最小となる点,最大となる点, y 座標が最小となる点,最大となる点について,それぞれの座標を求めよ.

(3) 曲線 C 2 直線 y =-1 および x =π によって囲まれた図形の面積 S を求めよ.



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