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2013 長崎大学 後期工学部

総合問題

数学の2題を含む6題中から4題選択

易□ 並□ 難□

【1】 以下の に当てはまる数値を, には当てはまる式を記せ.

2013年長崎大後期工学部総合問題【1】2013108810201の図

 正四面体 ABCD に内接する球の中心を O とする.以下の手順で正四面体に内接する球の半径 r を求める.なお,正四面体の 1 辺の長さは 10 とする.

 正三角形 BCD の面積は であり,点 A から正三角形 BCD を含む平面に下ろした垂線の長さは だから,正四面体 ABCD の体積 V である.次に,点 O から正四面体の各面への距離は球の半径 r であり,全て等しいことから, V は四面体 OBCD の体積 V 倍であることがわかる.したがって,体積 V である.また,四面体 OBCD の体積 V は,球の半径 r を用いると と表すことができる.これが と等しいことから, r となる.



2013 長崎大学 後期工学部

総合問題

数学の2題を含む6題中から4題選択

易□ 並□ 難□

【2】 以下の には当てはまる式を, には当てはまる数値を記し, には図形と数値を記入せよ.

  x の関数 y t を媒介変数として, x=2+ sint y=cos t 0t 2π で表される図形 A x y で表すと, となる.

 同様に, x=2 (1+ sint ) y= cost 0 t2 π で表される図形 B x y で表すと, となる.

 図形 A の概形を実線( ── )で,図形 B の概形を破線( )で描き,それらの図形と座標軸との交点の座標および y 軸方向の最大値と最小値を記入すると,答案用紙の となる.

 次に図形 B から図形 A を切り取った残りの面積を以下の手順で求める.

 図形の面積は平行移動しても変わらないので,まず,図形 B の中心を原点に平行移動した図形を考える.そして,その図形の第 1 象限の面積を積分で求めて,それを 4 倍して面積 S を求めると,

S=4 dx ただし, x の関数.

 ここで, x=2 sinθ とおくと,

S=4 dθ=

 これより図形 A の面積を引くと,求める面積は となる.

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