2013　大分大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}k$を実数とし，$k>0$とする．$2$次関数$f(x)=a{x}^2+bx+c$は$f(0)=9\text{，}f(-1)=16$をみたす．また，関数$f(x)$について，$x$に関する恒等式

$f^{\prime }(x)=6x-9k-4+{\displaystyle {\int }_0^k}f(t)dt$

が成り立つ．ただし，$f^{\prime }(x)$は$f(x)$の導関数とする．

(1)　$f(x)$を求めなさい．

(2)　$k$の値を求めなさい．

【２】　連立不等式

$\{\begin{array}{c}y\geqq |2x-3|\\ y\leqq x\end{array}$

の表す領域を$D$とする．

(1)　領域$D$を図示しなさい．

(2)　$a$を$2$でない正の定数とする．点$(x,y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+y$の最大値と最小値，およびそのときの点$(x,y)$を求めなさい．

(3)　点$(x,y)$が領域$D$内を動くとき，$x^2+y^2$の最小値とそのときの点$(x,y)$を求めなさい．

【３】　$▵\mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{3}\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{2}\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=t$とする．点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$に垂線$\mathrm{AP}$を下ろし，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に垂線$\mathrm{BQ}$を下ろし，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)　$t$の範囲を求めなさい．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$t$と$\overrightarrow{b}$で，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$t$と$\overrightarrow{a}$で表しなさい．

(3)　$t=1$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表し，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OR}}\right|$を求めなさい．

【４】　$n$を$9$以上の自然数とする．袋の中に$n$個の球が入っている．このうち$6$個は赤球で残りは白球である．この袋から$6$個の球を同時に取り出すとき，$3$個が赤球である確率を$P_n$とする．

(1)　$P_{10}$を求めなさい．

(2)　${\displaystyle \frac{P_{n+1}}{P_n}}$を求めなさい．

(3)　$P_n$が最大となる$n$を求めなさい．

（編注）2020年宇都宮大　前期【１】で改変して活用

【１】　$a$を実数とする．直線$y=3x-a$を$l$とし，曲線$y=2x^3-3x$を$C$とする．

(1)　$a=0$のとき，直線$l$と曲線$C$の共有点の座標を求めなさい．

(2)　直線$l$と曲線$C$の共有点の個数が$3$個となるように$a$の範囲を求めなさい．

【４】　$f(x)=\log 2x$とし，曲線$y=f(x)$を$C$とする．曲線$C$と$x$軸との交点における曲線$C$の接線$l$の方程式を$y=g(x)$とする．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$h(x)=g(x)-f(x)\text{（}x>0\text{）}$とおくと，$h(x)\geqq 0\text{（}x>0\text{）}$であることを示しなさい．また，$h(x)=0$となる$x$の値を求めなさい．

(3)　曲線$C$と直線$l$と直線$x={\displaystyle \frac{1}{2}}e$で囲まれた部分の面積$S$を求めなさい．

【１】　次の各問いに答えよ．

(1)　次の$x$と$y$に関する連立方程式を解け．ただし，$a$と$b$は実数の定数とする．

$\{\begin{array}{c}ax+y=1\\ x+by=1\end{array}$

【１】　次の各問いに答えよ．

(2)　$\cos x\geqq 1-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を証明せよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }{e}^{ax}\sin bxdx$を求めよ．ただし，$a$と$b$は実数の定数とする．

【２】　数列$\{x_n\}\text{，}\{y_n\}\text{，}\{z_n\}$の間に次の漸化式が成立する．

$x_{n+1}=2x_n\text{，}{y}_{n+1}=3x_n+y_n\text{，}{z}_{n+1}=x_n-2y_n+3z_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　初項$(x_1,y_1)=(2,0)$に対して，一般項$x_n$と$y_n$を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$が定数$c\text{，}d\text{，}r\text{，}s$に対して，関係$a_{n+1}=r{a}_n+c{s}^n+d$で定義されるとき，$f_n=p{s}^n+q\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が次式を満たすように定数$p$と$q$を定めよ．ただし，$r\ne s\text{，}r\ne 0\text{，}1\text{，}s\ne 0\text{，}1$とする．

$a_{n+1}+f_{n+1}=r(a_n+f_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(3)　初項$(x_1,y_1,z_1)=(2,0,0)$に対して，一般項$z_n$を求めよ．

【３】　曲線$y=x^2$の上を動く点$\mathrm{P}(x,y)$がある．この動点の速度ベクトルの大きさが一定$C$のとき，次の問いに答えよ．ただし，動点$\mathrm{P}(x,y)$は時刻$t$に対して$x$が増加するように動くとする．

(1)　$\mathrm{P}(x,y)$の速度ベクトル$\overrightarrow{v}=({\displaystyle \frac{dx}{dt}},{\displaystyle \frac{dy}{dt}})$を$x$で表せ．

(2)　$\mathrm{P}(x,y)$の加速度ベクトル$\overrightarrow{\alpha }=({\displaystyle \frac{d^{2}x}{{dt}^2}},{\displaystyle \frac{d^{2}y}{{dt}^2}})$を$x$で表せ．

(3)　半径$r$の円，$x^2+{(y-r)}^2=r^2\text{，}$上を速度ベクトルの大きさが一定$C$で動く点$\mathrm{Q}$があるとき，この加速度ベクトルの大きさを求めよ．

(4)　動点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の原点$(0,0)$での加速度ベクトルの大きさが等しくなるときの半径$r$を求めよ．