2013　宮崎大学　前期MathJax

【１】　$3$次の整式$P(x)$は，次の条件1)，2)，3)を満たしている．

1)　$P(x)$の$x^3$の係数は$1$である．

2)　$P(x)$は${(x-1)}^2$で割り切れる．

3)　$P(x)$を$x+1$で割った余りと，$x^2-x-2$で割った余りは等しい．

　このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$P(x)$を求めよ．

(2)　${\{P(x)\}}^2$を${(x+1)}^2$で割った余りを求めよ．

【２】　次の各問に答えよ．

(1)　方程式$2\cdot 8^x-3\cdot 4^{x+1}+5\cdot 2^{x+1}+24=0$を満たすような実数$x$をすべて求めよ．

【２】　次の各問に答えよ．

(2)　右図のような点$\mathrm{O}$を中心とする円において，弦$\mathrm{AB}$と点$\mathrm{A}$における接線$l$とのなす角$\mathrm{\angle BAT}$は，その角内にある弧$\mathrm{AB}$に対する円周角$\mathrm{\angle APB}$に等しいことを証明せよ．ただし，$\mathrm{\angle BAT}$は鋭角とする．

【３】　座標平面上に，半円$C\text{：}{x}^2+y^2=4$（ただし，$x>0$）と放物線$D\text{：}{x}^2-6y+3=0$がある．半円$C$上の点$\mathrm{P}$$(2\cos \theta ,2\sin \theta )$$(\text{ただし，}-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$における半円$C$の接線を$l$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　半円$C$と放物線$D$との交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　直線$l$が放物線$D$に点$\mathrm{R}$において接するとき，$\theta$の値と点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(3)　(2)のとき，半円$C$と放物線$D$および直線$l$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

【１】　平面上に，$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$をとり，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$とおく．また，直線$\mathrm{AC}\text{，}$$\mathrm{BC}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{CP}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=2\overrightarrow{b}$であるようにとる．線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{R}$とし，直線$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を$DR\perp \mathrm{PQ}$であるようにとる．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{CR}}$を，$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{DR}}$を，$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　直線$\mathrm{DR}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，線分$\mathrm{CE}$の長さを求めよ．

【２】　次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)　次の関数を微分せよ．

【２】　次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(2)　次の定積分の値を求めよ．

【３】　$0<r<1$を満たす実数$r$について，座標平面上に，$2$点${\mathrm{P}}_1$$(1,0)$と${\mathrm{P}}_2$$(1,r)$がある．これらから点${\mathrm{P}}_{n+1}$$(x_{n+1}，y_{n+1})$$\text{（}n=2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$\cdots \text{）}$を次の規則に従って定める．

点${\mathrm{P}}_{n-1}$から点${\mathrm{P}}_n$に向かう方向を時計の針の回転と逆の向きに$90\mathrm{°}$回転し，その方向に点${\mathrm{P}}_n$から距離$r^n$だけ進んだ点を${\mathrm{P}}_{n+1}$とする．

このとき，次の各問に答えよ．

(1)　点${\mathrm{P}}_4\text{，}$${\mathrm{P}}_8$の座標を，$r$を用いて表せ．

(2)　$x=\underset{m\to \infty }{\lim }{x}_{4m}\text{，}$$y=\underset{m\to \infty }{\lim }{y}_{4m}$とするとき，点$\mathrm{P}$$(x,y)$の座標を，$r$を用いて表せ．

(3)　実数$r$が$0<r<1$の範囲を動くとき，(2)の点$\mathrm{P}$の軌跡を座標平面上に図示せよ．

【４】　右図のような四角形$\mathrm{ABCD}$について，すべての内角の大きさは$180\mathrm{°}$未満とする．$\mathrm{▵BCD}$の重心を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{▵CDA}$の重心を$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{▵DAB}$の重心を$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{▵ABC}$の重心を$\mathrm{S}$とする．ただし，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{R}$は直線$\mathrm{AC}$上になく，点$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{S}$は直線$\mathrm{BD}$上にないものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\mathrm{AC}⫽\mathrm{RP}$を示せ．

(2)　$\mathrm{AB}⫽\mathrm{QP}$を示せ．

(3)　四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接するとき，$4$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$は同一円周上にあることを示せ．

【５】　最初に袋の中に，赤球と白球が$3$個ずつ，合計$6$個入っている．この状態から次の$\text{①}\text{〜}$$\text{③}$の一連の操作を行う．

$\text{①}$　袋の中から無作為に$3$個の球を取り出す．

$\text{②}$　$\text{①}$で取り出した球は袋に戻さず，取り出した赤球の数だけ白球を袋に補充し，取り出した白球の数だけ赤球を袋に補充する．

$\text{③}$　$\text{①}\text{，}$$\text{②}$の操作をもう一度繰り返す．

　ただし，補充する赤球と白球は十分にあるものとする．

　$\text{①}\text{〜}$$\text{③}$の操作の後に，袋の中にある赤球の個数を$a$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$a=3$となる確率を求めよ．

(2)　$a$の期待値を求めよ．

【２】　次の各問に答えよ．

(2)　数列$\{a_n\}$が，

$a_1={\sin }^2\theta \text{，}$$a_{n+1}=4a_n(1-a_n)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められているとき，次の(A)，(B)に答えよ．

(A)　$a_2$と$a_3$を，$\theta$を用いて表せ．

(B)　$a_n$が$\theta$と$n$を用いてどのように表されるのか予想し，それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．

【３】　次の各問に答えよ．

(2)　実数$\theta$に対し，関数$f(\theta )$と$g(\theta )$を，

$f(\theta )=(\cos \theta )(\cos 2\theta )(\cos 3\theta )$

$g(\theta )=(\sin \theta )(\sin 2\theta )(\sin 3\theta )$

とおくとき，次の(A)，(B)に答えよ．

(A)　関数$f(\theta )\text{，}$$g(\theta )$は，それぞれ

$f(\theta )=p+q\cos 2\theta +r\cos 4\theta +s\cos 6\theta$

$g(\theta )=t+u\sin 2\theta +v\sin 4\theta +w\sin 6\theta$

のように表されることを示せ．ただし，$p\text{，}$$q\text{，}$$r\text{，}$$s\text{，}$$t\text{，}$$u\text{，}$$v\text{，}$$w$は$\theta$によらない定数とする．

(B)　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，方程式$f(\theta )=g(\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$を満たすような$\theta$をすべて求めよ．

【４】　$-1<x<1$で定義される関数$f(x)=2x+\sqrt{5-5x^2}$について，座標平面上の曲線$C\text{：}y=f(x)$を考える．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　曲線$C$は上に凸であることを示し，$f(x)$の最大値を求めよ．

(2)　曲線$C$上の点のうち，原点$\mathrm{O}$との距離が最大となる点を$\mathrm{A}\text{，}$最小となる点を$\mathrm{B}$とするとき，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ求めよ．

(3)　(2)で求めた点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$について，線分$\mathrm{OA}\text{，}$線分$\mathrm{OB}\text{，}$および曲線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【５】　最初，数直線上の原点に点$\mathrm{P}$を置き，コインを$1$回投げるごとに以下のように点$\mathrm{P}$の位置を定める．

$\text{①}$　点$\mathrm{P}$の座標が$-2$以上$3$以下のとき，コインの表が出れば正の向きに$1$だけ点$\mathrm{P}$を進め，裏が出れば負の向きに$1$だけ点$\mathrm{P}$を進める．

$\text{②}$　点$\mathrm{P}$の座標が$-3$または$4$のとき，コインの表裏にかかわらず点$\mathrm{P}$を動かさない．

　コインを投げて$\text{①}\text{，}$$\text{②}$に従い点$\mathrm{P}$の位置を定める操作を$6$回行う．この$6$回の操作によって定めた点$\mathrm{P}$の最終的な位置の座標を$a$とする．ただし，コインの表と裏が出る確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$a=-3$となる確率と$a=4$となる確率をそれぞれ求めよ．

(2)　$a$の期待値を求めよ．