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2013 宮崎大学 後期教育文化学部

中学数学

易□ 並□ 難□

【1】 座標平面上の 2 直線を

ly =x 4+1

my =- x2- 1

とし,直線 l m の交点を A とする.さらに,正の実数 s t について,直線 l 上に, x 座標が s の点 B x 座標が 2 t の点 C がある.また,直線 m 上に, x 座標が t の点 D x 座標が 32 s の点 E がある.このとき,次の各問に答えよ.

(1) 点 A の座標を求めよ.

(2)  BEl CDm を満たすとき,点 B と点 D の座標を求めよ.

(3) (2)で定まった点 B と点 D に対し,直線 BE と直線 CD の交点を P とするとき,四角形 ADPB の外接円 T の中心の座標と直径の値をそれぞれ求めよ.

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中学数学

易□ 並□ 難□

【2】 自然数 n について,

Sn = k= 1n k T n= k =1n k2

とおく.このとき,次の各問に答えよ.

(1) すべての実数 x y について,等式

Tn +1 (x Sn +1+ y)- Tn (x Sn+ y)

=( Tn+ 1- Tn) (x Sn +1+ y)+ xTn ( Sn+ 1- Sn )

が成り立つ.

 これに注意して,すべての自然数 n に対して,

Tn+ 1 (a Sn+ 1+ b)- Tn (a Sn+ b)= ( n+1) 4

を満たすような定数 a b を求めよ.

(2)  k= 1n k4 を, n を用いて表せ.

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中学数学

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【3】  n p 2 pn を満たす自然数とする.袋の中に赤球 p 個と白球 n -p 個,あわせて n 個の球が入っている.この袋の中から p 個の球を無作為に取り出し,そのうち赤球が k 個のとき,得点 k が得られる.このとき,次の各問に答えよ.

(1)  n=5 p=2 のとき,得点が 1 である確率を求めよ.

(2)  p=3 とし, n 6 以上の自然数とするとき,得点の期待値が 12 以下となる最小の n の値を求めよ.

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中学数学

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【4】  0x 2 π で定義される関数

f( x)= 10 sinx 5-4 cosx +a

について,座標平面上の曲線 C y=f (x ) を考える.ただし, a は実数の定数とする.このとき,次の各問に答えよ.

(1)  f( x) の導関数 f ( x) を求めよ.

(2)  f( x) の最小値が 0 となるように,定数 a の値を求めよ.

(3) (2)のとき,曲線 C x 軸および直線 x = 43 π によって囲まれる部分の面積を求めよ.

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中学数学

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【5】 関数 f (x )= (x- 1) (e -x -1 ) について,座標平面上の曲線 C y=f (x ) を考える.このとき,次の各問に答えよ.ただし,自然対数の底 e 2.7 <e<2.8 を満たす.

(1) 曲線 C の変曲点の座標を求めよ.

(2)  f( x) の導関数 f ( x) について, f (x) =0 を満たす実数解がただ 1 つ存在し,その解 a 0 1 の間にあることを示せ.

(3) 関数 f ( x) の増減と凹凸を調べ,関数 y =f( x) のグラフの概形をかけ.

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