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2013-10941-0201
2013 宮崎大学 後期教育文化学部
中学数学
易□ 並□ 難□
【1】 座標平面上の 2 直線を
l:y =x 4+1
m:y =- x2- 1
とし,直線 l , m の交点を A とする.さらに,正の実数 s , t について,直線 l 上に, x 座標が s の点 B と x 座標が 2 ⁢t の点 C がある.また,直線 m 上に, x 座標が t の点 D と x 座標が 32 ⁢ s の点 E がある.このとき,次の各問に答えよ.
(1) 点 A の座標を求めよ.
(2) BE⊥l , CD⊥m を満たすとき,点 B と点 D の座標を求めよ.
(3) (2)で定まった点 B と点 D に対し,直線 BE と直線 CD の交点を P とするとき,四角形 ADPB の外接円 T の中心の座標と直径の値をそれぞれ求めよ.
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【2】 自然数 n について,
Sn = ∑k= 1n k ,T n= ∑k =1n k2
とおく.このとき,次の各問に答えよ.
(1) すべての実数 x , y について,等式
Tn +1 ⁢(x ⁢Sn +1+ y)- Tn⁢ (x⁢ Sn+ y)
=( Tn+ 1- Tn) ⁢(x ⁢Sn +1+ y)+ x⁢Tn ⁢( Sn+ 1- Sn )
が成り立つ.
これに注意して,すべての自然数 n に対して,
Tn+ 1⁢ (a⁢ Sn+ 1+ b)- Tn⁢ (a⁢ Sn+ b)= ( n+1) 4
を満たすような定数 a , b を求めよ.
(2) ∑k= 1n k4 を, n を用いて表せ.
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【3】 n ,p は 2 ⁢p≦n を満たす自然数とする.袋の中に赤球 p 個と白球 n -p 個,あわせて n 個の球が入っている.この袋の中から p 個の球を無作為に取り出し,そのうち赤球が k 個のとき,得点 k が得られる.このとき,次の各問に答えよ.
(1) n=5 , p=2 のとき,得点が 1 である確率を求めよ.
(2) p=3 とし, n は 6 以上の自然数とするとき,得点の期待値が 12 以下となる最小の n の値を求めよ.
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【4】 0≦x ≦2⁢ π で定義される関数
f⁡( x)= 10 ⁢sin⁡x 5-4 ⁢cos⁡x +a
について,座標平面上の曲線 C :y=f ⁡(x ) を考える.ただし, a は実数の定数とする.このとき,次の各問に答えよ.
(1) f⁡( x) の導関数 f ′⁡( x) を求めよ.
(2) f⁡( x) の最小値が 0 となるように,定数 a の値を求めよ.
(3) (2)のとき,曲線 C と x 軸および直線 x = 43 ⁢ π によって囲まれる部分の面積を求めよ.
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【5】 関数 f ⁡(x )= (x- 1)⁢ (e -x -1 ) について,座標平面上の曲線 C :y=f ⁡(x ) を考える.このとき,次の各問に答えよ.ただし,自然対数の底 e は 2.7 <e<2.8 を満たす.
(1) 曲線 C の変曲点の座標を求めよ.
(2) f⁡( x) の導関数 f ′⁡( x) について, f′⁡ (x) =0 を満たす実数解がただ 1 つ存在し,その解 a は 0 と 1 の間にあることを示せ.
(3) 関数 f ⁡( x) の増減と凹凸を調べ,関数 y =f⁡( x) のグラフの概形をかけ.