2013　鹿児島大学　前期MathJax

【１】　次の各問いに答えよ．

(1)　四角形$\mathrm{ABCD}$において，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とし，$\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{CBD}\text{，}\mathrm{AC}=8\text{，}\mathrm{AP}=2\text{，}\mathrm{PD}=4$とする．このとき$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(2)　平面上で$2$つの円を考える．共通接線がちょうど$3$本引けるような$2$つの円の位置関係の例を図示せよ．また，$3$本の共通接線も描け．

【１】　次の各問いに答えよ．

(3)　$3$個のさいころを同時に投げるとき，$3$個の目の積が$3$の倍数である確率を求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(4)　$a\text{，}b$を実数とする．命題「$ab=0$ならば，$a=0$かつ$b=0$」の逆と対偶を書き，それぞれの真偽を答えよ．

【２】　次の各問いに答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とする．次の等式が成り立つことを示せ．

$\overrightarrow{\mathrm{HA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{HB}}=\overrightarrow{\mathrm{HB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{HC}}=\overrightarrow{\mathrm{HC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{HA}}$

ただし，三角形の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした$3$本の垂線は$1$点で交わる．この点を三角形の垂心という．

【２】　次の各問いに答えよ．

(2)　次の(a)，(b)に答えよ．

(a)　自然数$n$に対して自然数$a_n$を次のように定義する．

$a_n=(2n-1)\cdot (2n-3)\cdot \cdots \cdot 3\cdot 1$

このとき，すべての自然数$k$に対して$(2k)!=2^{k}k!a_n$が成り立つ．このことを証明せよ．

(b)　すべての自然数$n$に対して，$2^n!$は$2^{(2^n-1)}$で割り切れる．このことを数学的帰納法で証明せよ．

【３-１】　次の各問いに答えよ．

(1)　次の(a)，(b)に答えよ．

(a)　$m\text{，}n$が自然数ならば，${\displaystyle \frac{m}{n}}\ne \sqrt{2}$である．このことを証明せよ．

(b)　$p\text{，}q$が自然数ならば，$\sqrt{2}$は${\displaystyle \frac{p}{q}}$と${\displaystyle \frac{2q}{p}}$の間にある．すなわち

${\displaystyle \frac{p}{q}<\sqrt{2}<{\displaystyle \frac{2q}{p}}}$または${\displaystyle \frac{2q}{p}}<\sqrt{2}<{\displaystyle \frac{p}{q}}$

が成り立つ．このことを証明せよ．

【３-１】　次の各問いに答えよ．

(2)　定数$a$は実数で，$a>0\text{，}a\ne 1$とする．このとき，すべての正の実数$x\text{，}y$に対して$x^{{\log }_{a}y}=y^{{\log }_{a}x}$が成り立つ．このことを証明せよ．

【３-２】　$xy$平面において，曲線$y=e^x$と$3$直線$y=x+1\text{，}x=1\text{，}x=-1$で囲まれた部分を$D$とする．ただし$e$は自然対数の底である．次の各問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)=e^x-(x+1)$の増減，極値，凹凸を$-1\leqq x\leqq 1$の範囲で調べ，増減表にまとめよ．

(2)　$D$を図示せよ．

(3)　$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ．

【４】　次の各問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}x\sin xdx$を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}\sin 2x\sin 3xdx$を求めよ．

(3)　$m\text{，}n$を自然数とする．${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}\sin mx\sin nxdx$を求めよ．

(4)　${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{({\displaystyle \sum _{k=1}^{2013}}\sin kx)}^{2}dx$を求めよ．

（編注）2023年富山大後期工,都市デザイン学部【１】で改変して活用

【５-１】　$2$次の正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$に対して，$\Delta (A)=ad-bc$とおく．たとえば単位行列$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$に対しては$\Delta (E)=1\times 1-0\times 0=1$となる．また$K=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 5& 7\end{array}\right)$に対しては$\Delta (K)=2\times 7-3\times 5=-1$となる．次の各問いに答えよ．

(1)　$P=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 3\end{array}\right)\text{，}Q=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$に対して$R=PQ$とおく．$\Delta (P)\text{，}\Delta (Q)\text{，}\Delta (R)$を計算し，$\Delta (R)=\Delta (P)\Delta (Q)$が成り立つことを確かめよ．

(2)　すべての$2$次の正方行列$A\text{，}B$に対して，$C=AB$とおくと$\Delta (C)=\Delta (A)\Delta (B)$が成り立つことを示せ．

(3)　$X^2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$となる$2$次の正方行列$X$ですべての成分が実数であるようなものは存在しないことを示せ．

(4)　$2$次の正方行列$A$に逆行列$B$が存在したとする．$A$と$B$の成分がすべて整数ならば，$\Delta (A)$は$1$か$-1$のどちらかである．このことを示せ．

【５-２】　$xy$平面において，点$\mathrm{F}(p,0)$と$y$軸から等距離にある点の軌跡を$C$とする．ただし$p>0$とする．次の各問いに答えよ．

(1)　$C$を表す方程式を求めよ．

(2)　$C$上の点$\mathrm{P}(x_0,y_0)$における$C$の接線$l$の方程式を求めよ．ただし$y_0\ne 0$とする．

(3)　(2)の$l$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{FP}=\mathrm{FQ}$であることを証明せよ．

【５-３】　$0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$の数字が$1$つずつ記入された$5$枚のカードがある．この$5$枚のカードの中から$1$枚引き，数字を記録して戻すという作業を$3$回繰り返す．ただし，$3$回ともどのカードを引く確率も等しいとする．記録した$3$つの数字の最小値を$X$とするとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$に対して確率$P(X\geqq k)$を求めよ．

(2)　確率変数$X$の確率分布を表で表せ．

(3)　確率変数$X$の平均（期待値）$E(X)$を求めよ．

(4)　確率変数$X$の分散$V(X)$を求めよ．

【５-４】　確率変数$X$のとる値の範囲が$0\leqq X\leqq 2$で，その確率密度関数$f(x)$が次の式で与えられるものとする．

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{k}{a}}x& \text{（}0\leqq x\leqq a\text{）}\\ {\displaystyle \frac{k}{2-a}}(2-x)& \text{（}a<x\leqq 2\text{）}\end{array}$

ここで，$a\text{，}k$は$0<a<1\text{，}k>0$を満たす定数である．次の各問いに答えよ．

(1)　定数$k$の値を求めよ．

(2)　$X$の平均（期待値）$E(X)$を$a$を用いて表せ．

(3)　$P(x\leqq u)=0.5$となる実数$u$を$a$を用いて表せ．