2013　琉球大学　前期MathJax

【１】　$t$を$0\leqq t<2$をみたす定数とする．放物線$y={(x-2)}^2$上の点$(t,{(t-2)}^2)$における接線を$l$とする．このとき，次の問いに答えよ．

問１　接線$l$の方程式を求めよ．

問２　直線$l$と$x$軸の交点を求めよ．

問３　直線$l$と$x$軸，$y$軸によって囲まれる部分の面積を$S(t)$とする．$0\leqq t<2$において$S(t)$が最大となるときの$t$の値と$S(t)$の値を求めよ．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さが$\mathrm{AB}=6\text{，}\mathrm{BC}=5\text{，}\mathrm{CA}=4$であるとき，次の問いに答えよ．

問１　$\cos \angle \mathrm{BAC}$を求めよ．

問２　$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{L}$とする．線分$\mathrm{AL}$の長さを求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

問１　直径$1$の球を球の中心から距離$a$の平面で切って二つの部分に分けたとき，中心を含まない部分の体積を求めよ．ただし，$0<a<{\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．

問２　一辺の長さが$1$である立方体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$を考える．この立方体に内接する球と正四面体$\mathrm{ACFH}$との共通部分の体積を求めよ．

【２】　$xy$平面上の曲線$C$は媒介変数$\theta$を用いて

$x={\displaystyle \frac{2}{3}}\sqrt{3}\cos \theta +{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}\sin \theta \text{，}y={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}\cos \theta -{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}\sin \theta \text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$

と表される．このとき，次の問いに答えよ．

問１　曲線$C$を表す$x$と$y$の関係式を求め，$xy$平面に図示せよ．

問２　点$(2,0)$から曲線$C$に引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ．

【３】　$a$を自然数とする．赤球$3$個，白球$a$個が入った袋から一つずつ順に取り出す操作をすべての球を取り出すまで繰り返す．ただし，取り出した球は元に戻さない．このとき，$2$個目の赤球が出る前までに取り出した球の数を$X$とする．次の問いに答えよ．

問１　$a=4$とする．$3$番目までに赤球が$1$個だけ出て，$4$番目が赤球である確率を求めよ，

問２　$X=n$となる確率を$p_n$とする．$p_n$が最大となる$n$の値を$a$を用いて表せ．

問３　$X$の期待値を求めよ．

【４】　$m$を正の定数とする．次の問いに答えよ．

問１　$xy$平面上に$2$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{P}(1,m)$がある．このとき$2$点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$の座標を，$▵\mathrm{OPQ}\text{，}▵\mathrm{OPR}$がともに正三角形となるように定めよ．ただし，点$\mathrm{Q}$は$xy$平面上の$y>mx$となる領域に，点$\mathrm{R}$は$xy$平面上の$y<mx$となる領域に定めよ．

問２　問１で定めた$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$について，一次変換$f$は点$\mathrm{P}$を同じ点$\mathrm{P}$に，点$\mathrm{Q}$を点$\mathrm{R}$に移すものとする．この一次変換$f$を表す行列$A$を求めよ．