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2013-11001-0101
2013 札幌医科大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 座標平面上の点 A ( 1,0 ) と曲線 C :y=x⁢ x を考える(ただし x ≧0 とする).曲線 C 上の点のうち,点 A までの距離が最小となるような点を P とし,点 P における曲線 C の接線と x 軸との交点を Q とする.
(1) 点 P の x 座標を求めよ.
(2) 点 Q の x 座標を求めよ.
(3) 曲線 C と x 軸のおよび線分 PQ で囲まれた図形を x 軸のまわりに 1 回転させた回転体の体積を V 1 とする.また,曲線 C と x 軸および線分 AP で囲まれた図形を x 軸のまわりに 1 回転させた回転体の体積を V 2 とする.このとき V2V 1 の値を求めよ.
2013-11001-0102
【2】 1 から 4 の数字が 1 つずつ書かれた正四面体のサイコロを独立に 4 回投げ,底面に書かれてある数字をサイコロを投げた順番に a1 ,a 2 ,a 3 ,a4 とする.そして,座標平面上の 2 点を P 1( a1, a2 ), P2 ( -a3 ,a4 ) とする.また,原点を O と表す.
(1) 点 P 1 が直線 y =2⁢x 上にあり,かつ点 P 2 が直線 y =- 12⁢ x 上にある確率を求めよ.
(2) ∠P 1O P2 が直角となる確率を求めよ.
(3) ∠P 1O P2 が鋭角となる確率を求めよ.
2013-11001-0103
【3】 曲線 7 ⁢x2 +2⁢3 ⁢x+ 9⁢y 2=30 上の点 ( x,y ) に対して,変換
{ X=x⁢ cos⁡θ -y⁢sin ⁡θ Y=x⁢sin ⁡θ+y ⁢cos⁡θ
を考える(ただし 0 ≦θ≦ π 2 とする).このとき X , Y のみたす式は
a⁡( θ)⁢ X2+ b⁡( θ)⁢ X⁢Y+ c⁡( θ)⁢ Y2= 30
となる.ただし, a⁡( θ) ,b⁢ (θ ), c⁡( θ) は θ のみにより決まる定数である.いま, b⁡( θ)= 0 をみたす θ を θ 1 とする.
(1) θ1 を求めよ.
(2) a⁡( θ1 )⁢ X2+c ⁡( θ1) ⁢Y2 =30 で囲まれた図形の面積を求めよ.
(3) a⁡( θ1 )⁢X 2+c⁡ (θ 1) ⁢Y2 =30 に内接する平行四辺形の面積の最大値を求めよ.
2013-11001-0104
【4】 関数 f ⁡(x )=x ⁢cos⁡x -sin⁡x を区間 I :π≦x ≦3⁢π で考える.
(1) 不定積分 ∫⁡f ⁡(x )⁢d x を求めよ.
(2) 区間 I における関数 f ⁡(x ) の最大値と最小値を求めよ.
区間 I において f ⁡(x )=0 をみたす 2 点を x =s ,t とする.ただし s <t とする.
(3) s と t は,次の 4 つの区間
π≦x≦ 3 2⁢ π , 3 2⁢ π≦ x≦2⁢ π ,
2⁢π≦ x≦ 52 ⁢ π, 52 ⁢ π≦x≦ 3⁢π
のどれに入るか.
(4) x 軸の 4 ⁢π-t ≦x≦2 ⁢π の部分,直線 x =4⁢π -t , 直線 x =2⁢π および y =f⁡( x) で囲まれた図形の面積を S とする.また, x 軸の直線 2 ⁢π≦x ≦t の部分, x=2⁢ π および f ⁡( x) で囲まれた図形の面積を T とする.このとき S と T の大小を比較せよ.