2013　札幌医科大学　前期MathJax

【１】　座標平面上の点$\mathrm{A}(1,0)$と曲線$C:y=x\sqrt{x}$を考える（ただし$x\geqq 0$とする）．曲線$C$上の点のうち，点$\mathrm{A}$までの距離が最小となるような点を$\mathrm{P}$とし，点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$の$x$座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{Q}$の$x$座標を求めよ．

(3)　曲線$C$と$x$軸のおよび線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させた回転体の体積を$V_1$とする．また，曲線$C$と$x$軸および線分$\mathrm{AP}$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させた回転体の体積を$V_2$とする．このとき${\displaystyle \frac{V_2}{V_1}}$の値を求めよ．

【２】　$1$から$4$の数字が$1$つずつ書かれた正四面体のサイコロを独立に$4$回投げ，底面に書かれてある数字をサイコロを投げた順番に$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4$とする．そして，座標平面上の$2$点を${\mathrm{P}}_1(a_1,a_2)\text{，}{\mathrm{P}}_2(-a_3,a_4)$とする．また，原点を$\mathrm{O}$と表す．

(1)　点${\mathrm{P}}_1$が直線$y=2x$上にあり，かつ点${\mathrm{P}}_2$が直線$y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x$上にある確率を求めよ．

(2)　$\angle {\mathrm{P}}_1\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2$が直角となる確率を求めよ．

(3)　$\angle {\mathrm{P}}_1\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2$が鋭角となる確率を求めよ．

【３】　曲線$7x^2+2\sqrt{3}x+9y^2=30$上の点$(x,y)$に対して，変換

$\{\begin{array}{l}X=x\cos \theta -y\sin \theta \\ Y=x\sin \theta +y\cos \theta \end{array}$

を考える（ただし$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする）．このとき$X\text{，}Y$のみたす式は

$a(\theta )X^2+b(\theta )XY+c(\theta )Y^2=30$

となる．ただし，$a(\theta )\text{，}b(\theta )\text{，}c(\theta )$は$\theta$のみにより決まる定数である．いま，$b(\theta )=0$をみたす$\theta$を${\theta }_1$とする．

(1)　${\theta }_1$を求めよ．

(2)　$a({\theta }_1)X^2+c({\theta }_1)Y^2=30$で囲まれた図形の面積を求めよ．

(3)　$a({\theta }_1)X^2+c({\theta }_1)Y^2=30$に内接する平行四辺形の面積の最大値を求めよ．

【４】　関数$f(x)=x\cos x-\sin x$を区間$I:\pi \leqq x\leqq 3\pi$で考える．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)dx$を求めよ．

(2)　区間$I$における関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

　区間$I$において$f(x)=0$をみたす$2$点を$x=s\text{，}t$とする．ただし$s<t$とする．

(3)　$s$と$t$は，次の$4$つの区間

$\pi \leqq x\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}\pi \text{，}{\displaystyle \frac{3}{2}}\pi \leqq x\leqq 2\pi \text{，}$

$2\pi \leqq x\leqq {\displaystyle \frac{5}{2}}\pi \text{，}{\displaystyle \frac{5}{2}}\pi \leqq x\leqq 3\pi$

のどれに入るか．

(4)　$x$軸の$4\pi -t\leqq x\leqq 2\pi$の部分，直線$x=4\pi -t\text{，}$直線$x=2\pi$および$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を$S$とする．また，$x$軸の直線$2\pi \leqq x\leqq t$の部分，$x=2\pi$および$f(x)$で囲まれた図形の面積を$T$とする．このとき$S$と$T$の大小を比較せよ．