2013　公立はこだて未来大学　推薦MathJax

【１】　$3$次関数$f(x)=2x^3-6x^2+8$と$2$次関数$g(x)=x^2+px+q$について，以下の問いに答えよ．

問１　$f$の極大値と極小値をそれぞれ求めよ．

問２　問１で求めた$f$が極大値をとるときの$x$の値を$a\text{，}$極小値をとるときの$x$の値を$b$とおく．$y=g(x)$のグラフが$2$点$\mathrm{A}(a,f(a))$と$\mathrm{B}(b,f(b))$を通るように，$p$と$q$をそれぞれ求めよ．

問３　問２で定めた$p$と$q$に対して，放物線$C\text{：}y=g(x)$と$x$軸との交点で$x$座標の大きいほうの点を$\mathrm{D}$とする．また，点$\mathrm{D}$と問２における点$\mathrm{A}$を通る直線を$l$とする．放物線$C$と直線$l$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　整数$n$に対して，$f(n)=a^n+{\displaystyle \frac{1}{a^n}}$とする．ただし，$a$は$0$でない定数とする．以下の問いに答えよ．

問１　$f(4)$を$f(2)$を用いて表せ．

問２　$f(9)$を$f(6)$と$f(3)$を用いて表せ．

問３　整数$m\text{，}l$に対して，$f(m+l)=f(m)f(l)-f(m-l)$を示せ．

【３】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が続けて試合を行い，先に$3$勝した方を優勝とする．$1$回の試合で$\mathrm{A}$の勝つ確率は${\displaystyle \frac{3}{5}}$とする．ただし，引き分けはないものとする．以下の問いに答えよ．

問１　$\mathrm{A}$が$3$勝$0$敗で優勝する確率を求めよ．

問２　$\mathrm{A}$が$3$連勝で優勝する確率を求めよ．

問３　$\mathrm{A}$が優勝したとする．このとき，$\mathrm{A}$の$3$通りの優勝のしかた，$3$勝$0$敗，$3$勝$1$敗，$3$勝$2$敗の中で最も確率の高い優勝のしかたを求めよ．

【４】　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，${\log }_2\sin \theta -2{\log }_{16}\tan \theta$の最大値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．