2013　青森公立大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

問題１　次の式を計算せよ．

(1)　$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc$

【１】　次の問いに答えよ．

問題１　次の式を計算せよ．

(2)　${\displaystyle \frac{{(\sqrt{3}-1)}^5+{(\sqrt{3}-1)}^3+(\sqrt{3}-1)}{{(\sqrt{3}-1)}^6}}$

【１】　次の問いに答えよ．

問題２　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{O}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{O}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{I}$の$6$文字を$1$列に並べたときに，$\mathrm{O}$が隣り合わせにならない確率を求めよ．

【２】　$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$が$x+y=2$を満たすとする．このとき，$a$を定数として

$(x-y)|x-a|$

の最大値を求めよ．ただし，$x\text{，}y\text{，}a$は実数とする．

【３】　ある三角形$X$の頂点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とする．$\angle \mathrm{B}$が直角で，線分$\mathrm{AB}$の長さが線分$\mathrm{BC}$の長さより$1\mathrm{cm}$だけ長いとき，以下の問いに答えよ．

問題１　線分$\mathrm{BC}$を$1\mathrm{cm}$縮めて線分${\mathrm{BC}}^{\prime }$とする（ただし各点は$\mathrm{B}\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }\text{，}\mathrm{C}$の順に一直線上に並ぶ）．また線分$\mathrm{AB}$を$a\mathrm{cm}$伸ばして線分${\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{B}$とする（ただし各点は$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{A}\text{，}{\mathrm{A}}^{\prime }$の順に一直線上に並び，$a>0$とする）．この$3$つの頂点${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}\mathrm{B}\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }$によって形成される三角形$Y$の面積が，もとの三角形$X$の$2$倍になった．このとき，線分$\mathrm{BC}$の長さを$x\mathrm{cm}$（ただし$x>1$）とし，$x$を$a$の式として表せ．

問題２　$x$の値が$a$に対応してただ一つに決まるとき，三角形$X$の面積を求めよ．

問題３　問題２で得られる三角形$X$を，点$\mathrm{A}$を通り線分$\mathrm{AC}$に垂直な直線を軸として$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【４】　$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．三角形$\mathrm{ABC}$の周上（ただし$3$つの頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を除く），または三角形$\mathrm{ABC}$の内部に点$\mathrm{P}$をとる．

問題１　$\angle \mathrm{ABP}=\angle \mathrm{ACP}$とする．このとき，次の命題をそれぞれ証明せよ．

(1)　点$\mathrm{P}$が三角形$\mathrm{ABC}$の内部の点であるならば，点$\mathrm{P}$は三角形$\mathrm{ABC}$の内部における$\angle \mathrm{BAC}$の$2$等分線上にある．

(2)　点$\mathrm{P}$が$3$つの頂点を除く三角形$\mathrm{ABC}$の周上にあるならば，点$\mathrm{P}$は両端点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を除く線分$\mathrm{BC}$上にある．

問題２　点$\mathrm{P}$が次の連立不等式を満たすならば，点$\mathrm{P}$は必ず三角形$\mathrm{ABC}$の内部の点であることを証明せよ．

$\{\begin{array}{l}\mathrm{AB}<\mathrm{PA}+\mathrm{PB}\\ \mathrm{BC}<\mathrm{PB}+\mathrm{PC}\\ \mathrm{CA}<\mathrm{PC}+\mathrm{PA}\end{array}$