2013　宮城大学　前期MathJax

【１】　次の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{サ}}$にあてはまる数や式を，解答欄に書きなさい．

(1)　次の等式を満たす自然数$n$の値を求めたい．

${\log }_5({}_{n}C_{n-2})={\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_{5}784$

　$784={\boxed{\text{ア}}}^2\times {\boxed{\text{イ}}}^2$（ただし，$\boxed{\text{ア}}\text{，}\boxed{\text{イ}}$は$1<\boxed{\text{ア}}<\boxed{\text{イ}}<10$を満たす自然数とする．）だから，

${\log }_5({}_{n}C_{n-2})={\log }_5\boxed{\text{ウ}}$

　ゆえに，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{2\cdot 1}}=\boxed{\text{ウ}}$である．$n$は自然数だから，$n=\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{サ}}$にあてはまる数や式を，解答欄に書きなさい．

(2)　$2$次関数$y=-x^2+2mx+3m^2$を平方完成すれば，

$y=-{(x-\boxed{\text{カ}})}^2+\boxed{\text{キ}}\cdots \text{①}$

となる．

　したがって，$\text{①}$の頂点の軌跡は，放物線

$y=\boxed{\text{ク}}{x}^2\cdots \text{②}$

上にある．

　$2$つの放物線$\text{①}$と$\text{②}$の交点の$x$座標を$m$を用いて表せば，

$x=\boxed{\text{ケ}}$または$x=\boxed{\text{コ}}$である．

　また，$2$つの放物線$\text{①}$と$\text{②}$で囲まれた部分の面積が${\displaystyle \frac{5}{6}}$のとき，

$m=\boxed{\text{サ}}$（ただし，$m>0$とする．）である．

【２】　次の空欄$\boxed{\text{タ}}$から$\boxed{\text{ト}}$にあてはまる数や式を，解答欄に書きなさい．

　次のような整数の数列$\{a_n\}$がある．

　$1\text{，}1\text{，}2\text{，}1\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}2\text{，}1\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}3\text{，}2\text{，}1\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}4\text{，}3\text{，}2\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}n-2\text{，}n-1\text{，}n\text{，}n-1\text{，}\cdots \text{，}3\text{，}2\text{，}1\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$

　ここで，$a_1=1$だけからなる群を第$1$群，$a_2=1\text{，}{a}_3=2\text{，}{a}_4=1$からなる群を第$2$群と呼ぶことにする．一般に，$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{，}k-1\text{，}k\text{，}k-1\text{，}\cdots \text{，}3\text{，}2\text{，}1$からなる群を第$k$群と呼ぶことにする．

　このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　第$n$群の項数を$n$を用いて表せば$\boxed{\text{タ}}$個となる．

(2)　第$n$群に属する項すべての整数の和を$n$を用いて表せば$\boxed{\text{チ}}$となる．

(3)　整数$7$が，数列$\{a_n\}$の初項から「第$n$項に含まれる最後の項」までの間に現れる回数を$n$を用いて表せば$\boxed{\text{ツ}}$回となる．ただし，$n$は$7$以上の自然数とする．

(4)　数列$\{a_n\}$の第$364$項は第$\boxed{\text{テ}}$群に属し，その第$\boxed{\text{テ}}$群の先頭から$\boxed{\text{ト}}$番目の項である．

【３】　次の空欄$\boxed{\text{ナ}}$から$\boxed{\text{ヘ}}$にあてはまる数や式を，解答欄に書きなさい．

　ゆがんだサイコロがあり，各々の目の出る確率は下記の確率分布表の通りである．

　また，このサイコロを$6$回投げたとき，次のような$2$つのデータ(1)，(2)が残った．

データ(1)$\cdots 4$回目に投げたとき$2$度目の$3$の目になる確率が${\displaystyle \frac{4}{27}}$であった．

データ(2)$\cdots$出る目の期待値が${\displaystyle \frac{1153}{315}}$であった．

　このとき，以下の問いに答えなさい．ただし，${\displaystyle \frac{1}{35}}<{\displaystyle \frac{4}{45}}<q<r<p<{\displaystyle \frac{2}{3}}$とする．

　まず，確率分布表から，$p+q+r=\boxed{\text{ナ}}\cdots \text{①}$である．

　次に，データ(1)は$3$の目が$3$回目までに既に$1$回だけ出ていることを示すから，

$\boxed{\text{ニ}}={\displaystyle \frac{4}{27}}$

となる．

　これより，次の$2$次方程式が得られる．

$\boxed{\text{ヌ}}=0$

　条件より，$p<{\displaystyle \frac{2}{3}}$だから$p=\boxed{\text{ネ}}$である．すると$\text{①}$から，

$q+r=\boxed{\text{ノ}}\cdots \text{②}$

となる．

　データ(2)から，期待値の式を$p\text{，}q\text{，}r$を用いて表せば，

$\boxed{\text{ハ}}={\displaystyle \frac{1153}{315}}$

である．

　ゆえに，$p=\boxed{\text{ネ}}$を適用して，

$2q+3r=\boxed{\text{ヒ}}\cdots \text{③}$となる．

　$\text{②}$と$\text{③}$を連立して，$q=\boxed{\text{フ}}\text{，}r=\boxed{\text{ヘ}}$を得る．

【４】　次の問いに答えなさい．ただし，以下の角$\alpha$は鋭角とする．

(1)　角$\alpha$が等式$\cos \alpha =\sin 2\alpha$を満たすとき，$\alpha$の値を求めよ．

(2)　$3\alpha =2\alpha +\alpha$を利用し，$\sin 3\alpha$を$\sin \alpha$のみを用いて表せ．

(3)　等式$\sin 3\alpha =\cos 2\alpha$が成り立つとき，$\sin \alpha$の値を求めよ．

【４】　次の問いに答えなさい．ただし，以下の角$\theta$は鋭角とし，$\tan \theta =t$とおく．

(1)　$\tan 2\theta$を$t$を用いて表せ．また，特に$\tan 2\theta =\sqrt{8}$の場合に$t$の値を求めよ．

(2)　加法定理を利用し，$\tan 3\theta$を$t$を用いて表せ．

(3)　$\tan 3\theta =1$のとき，$t$の値を求めよ．